Курс лекций по строительной механике Лабораторные работы по электронике Лекции по сопромату Курс высшей математики Типовой расчет Начертательная геометрия Лекции по электротехнике Трехфазные электрические цепи

Теория электрических цепей Курсовой расчет по электронике и электротехнике

Основные операции и элементы алгебры логики.

Основой построения любого устройства, использующего цифровую информацию, являются элементы двух типов: логические и запоминающие. Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровыми сигналами. Запоминающие элементы служат для хранения цифровой информации (состояния разрядов кодовой комбинации).

Логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входных цифровых сигналов в выходные. Математически цифровые сигналы обозначают поразрядно символами, например x1, x2, x3, x4. Их называют переменными. Каждая переменная может принимать значение "0" или "1". Результат логической операции часто обозначают F или Q. Он также может иметь значение "0" или "1". Математическим аппаратом логики является алгебра Буля. В булевой алгебре над переменными "0" или "1" могут выполняться три основных действия: логическое сложение, логическое умножение и логическое отрицание.

Логическое сложение (дизъюнкция или операция ИЛИ) записывается в виде

Правила выполнения операции ИЛИ заключаются в следующем:

0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1;

0 + 1 = 1; 1 + 1 = 1.

(17.1)

Логические схемы, реализующие операцию ИЛИ; называют ячейками ИЛИ. Их схемное обозначение приведено на рис. 17.1а. Простейшая реализация логической ячейки ИЛИ на диодах приведена на рис. 17.1б. Напряжение на выходе схемы будет равно E (F=1), если хотя бы на один из входов будет подан единичный сигнал.

Логическое умножение (конъюнкция или операция И) записывается в виде

Правила выполнения операции И заключаются в следующем

   (17.2)


Логические схемы, реализующие правила (17.2), называются ячейками И. Их схемное обозначение приведено на рис. 17.2а. Простейшая реализация логической ячейки И на диодах приведена на рис. 17.2б. Напряжение на выходе  только в том случае, если все диоды будут закрыты, т. е. на всех входах будет потенциал Е (логическая 1). В противном случае открывшийся диод шунтирует нагрузку и .

Логическое отрицание (инверсия или операция НЕ) записывается в виде

и читается: F равно не x. Правила выполнения операции НЕ заключаются в следующем

   (17.3)

Логические схемы, реализующие правило (17.3) называются ячейками НЕ. Их графическое обозначение приведено на рис. 17.3. Операция НЕ может быть реализована схемой транзисторного ключа.

Рассмотренные логические правила и схемы позволяют реализовать сколь угодно сложную логическую функцию. Например, функция

реализуется пятью логическими элементами, в том числе два элемента И, два элемента НЕ и один элемент ИЛИ (см. рис. 17.4).

Все логические элементы выпускаются в микросхемном исполнении. Они входят в состав всех серий цифровых микросхем и имеют следующие условные обозначения:

элементы "ИЛИ" – ЛЛ;

элементы "И"  – ЛИ;

элементы "НЕ" – ЛН.

Например, микросхема К555 ЛИ1 имеет в своем составе 4 элемента "И" на два входа каждый.


Основные теоремы алгебры логики.

Теоремы для одной переменной охватывают все операции над переменной x и константами "0" и "1":

Теоремы для двух или более переменных – x и y:

Переместительный закон:

   

Сочетательный закон:

Распределительный закон:

  Доказательство:

 

 Здесь к скобке применена теорема 2.

Закон поглощения:

 Доказательство:

 

 

 Доказательство:

 

Закон склеивания:

  Доказательство:

 

Закон отрицания (теорема де-Морана)

Булевы функции (функции логики).

Минимизация булевых функций Булевы функции в СДНФ и в СКНФ обычно избыточны. Поэтому этапу построения схемы должно предшествовать упрощение формул или минимизация. Цель минимизации – получить минимально необходимое количество логических элементов в схеме. В основу минимизации положены правила и законы булевой алгебры


На главную