Обыкновенные дифференциальные уравнения

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции

Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида

  f(x) dx + g(y) dy = 0. (10)

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим  - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:

  . (13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой , или . Подставляя в (13) y = x u, , получим  (это - уравнение с разделяющимися переменными),  - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная  входят в уравнение в первой степени:

  . (14)

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.

Уравнение Бернулли. Так называется уравнение

 , (15)

где   (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:

 1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, , . После деления уравнения (15) на ym получим , или  - линейное уравнение.

 Пример:  (уравнение Бернулли, m = 2).

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

 P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, (16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим

du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение

u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x0, y0) плоскости для уравнения  выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая.

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

 14.4.2.1. Уравнение вида  решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y(x) = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.  14.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y(k)(x). Тогда  z(n-k) = y(n)(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением

n - k-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение

y(k) = z(x).

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость  от y: . Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:

Теория линейных уравнений.

  Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую  производных, в функцию, имеющую k - n производных:

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Формула Лиувилля.

Теорема 14.5.6.1. Определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p1(x) - коэффициент при n - 1 производной.

Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b) вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y1(x), y2(x), …, yn(x).

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (pi(x) = ai = const, i = 1, 2, …, n), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

14.5.11.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

 14.5.11.2.1. Метод вариации произвольных постоянных. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения  . По теореме 14.5.9. о структуре общего решения неоднородного уравнения общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения.

Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

1. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)= xr Rm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i =0, m1 = m, m2 = 0, max(m1,m2) = m, поэтому

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Двойной интеграл

 Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Свойства двойного интеграла.

16.Линейность. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация  тоже интегрируема по области D, и  .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство   . Переходя к пределу при  и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

16.1.3.2. Аддитивность. Если область D является объединением двух областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то .

Теоремы об оценке интеграла.

16.1.3.5.1. Если функция f(P) интегрируема по области D, и для  выполняется , то .

Док-во.      (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств).

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от  до  получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть D - простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области D равен повторному интегралу от той же функции по области D: .

Док-во. Разобьём область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти D1, D2, …, Dn. По доказанному выше,

Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Пусть на плоскости Ouv задана область G, и пусть отображение F(M) = M* преобразует эту область в область D на плоскости Oxy. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на D; 2). функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). якобиан  не обращается в нуль на G.

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.

Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл вычисляется переходом к повторному. Рассмотрим ряд примеров.

.

Здесь область D (которую обязательно надо изобразить на чертеже) правильна в направлении обеих осей, поэтому вычисления по обеим формулам перехода имеют одинаковую трудоёмкость:

Приложения двойного интеграла.

 16.1.7.1. Вычисление площадей плоских областей. В соответствии с свойством 16.1.3.3. Интеграл от единичной функции . Пример: найти площадь области , лежащей внутри кривых .

  Решение. Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду , это - лемниската Бернулли; второе - к виду , это - кардиоида.

 Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

Тройной интеграл

 Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция f(x, y, z).

Разобьём область V произвольным образом на n подобластей V1, V2, V3, …, Vn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом v(Vi) будем обозначать объём области Vi; символом d обозначим наибольший из диаметров областей Vi: .

Теоремы об оценке интеграла.

Если функция f(P) интегрируема по области V, и для  выполняется , то .

Если функция f(P) интегрируема по областиV,  то .

Теорема о среднем. Если функция f(P) непрерывна на области V, то существует точка , такая что .

Замена переменных в тройном интеграле.

Теорема о за мена переменных в тройном интеграле. Пусть в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение  преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V; 2). Функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан  не обращается в нуль на G.

Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и , где r - длина радиуса-вектора точки M, j - полярный угол проекции M1 точки М на плоскость Оху,  - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:

Механические приложения тройного интеграла. Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы  (,, где G - область, содержащая точку Р, m(G) - масса этой области, v(G) - её объём). Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая (раздел 16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла), поэтому просто перечислим их.

Несобственные кратные интегралы

 Несобственные интегралы по неограниченной области. Логика определения сходимости несобственного двойного, тройного, n - кратного интеграла по неограниченной области такая же, как и для несобственного определённого интеграла: мы ограничиваем область, вычисляем интеграл по этой ограниченной области, и, затем, расширяя область интегрирования до исходной, смотрим, существует или нет конечный предел значения интеграла. Рассмотрим это более подробно для случая двойного интеграла.

Несобственные интегралы от неограниченной функции. Структура множества точек, в окрестностях которых функция двух, трех и большего числа переменных может оказаться неограниченной, может быть достаточно сложной. Так, функция трёх переменных может быть неограниченной в окрестности одной точки , прямой , плоскости ; естественно, возможны более сложные случаи. Мы рассмотрим самый простой случай, когда функция неограничена в окрестности единственной точки.

Криволинейные интегралы

Введение. Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой  перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

  В случае, когда в качестве берётся  - прямолинейный отрезок (левая часть рисунка), и - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещенияточки: . Это выражение можно трактовать двумя способами.

Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).

 16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками  на  частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку , найдём  и длину  дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f(x,y,z) по кривой , и обозначается  (или ).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .

Пример. Вычислить , где  - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.

Статические моменты и координаты центра масс. Пусть плоская материальная кривая  имеет плотность m(x,y). Статический момент относительно оси Ox определяется по формуле , относительно оси Oy: .

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).

 16.3.3.1. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть в пространстве Oxyz дана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция P(x, y, z). Разобьём кривую точками A0(x0, y0, z0) = A, A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), …, Ai(xi yi, zi), …, An(xn yn, zn) = B на n частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку Mi(xi yi, zi), найдём P(Mi) = Pi(xi yi, zi) и проекцию  дуги  на ось Ох, и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги  (i = 1, 2, …, n), ни от выбора точек Mi, то функция Р(x,y,z) называется интегрируемой по кривой L, а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х от функции Р(x,y,z) по кривой L, и обозначается   (или ).

Параболы ODA и OEA, симметричные относительно координатных осей.

 Решение. 1.   (по свойству аддитивности). На ОВ в качестве параметра естественно выбрать переменную х, при этом , поэтому . На ВА , поэтому . Окончательно, .

Формула Грина

 Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

  Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

 Область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

  Примеры: односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

 Теорема Грина для многосвязной области. Пусть теперь D многосвязная  на плоскости Oxy. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура С и внутренних контуров С1 и С2. Соединим контур С разрезом FM с контуром С1, разрезом BG - с контуром С2. (Под словами "соединим разрезом BG " подразумевается то, что мы удалим из D отрезок BG).

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.

Если выполнены условия независимости от формы пути, соединяющего начальную  и конечную   точки кривой, то значение интеграла   определяется только точками А и В. Поэтому в этом случае для обозначения интеграла применяется обозначение  или . Докажем следующую теорему.

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Из формулы Грина  следует неожиданный результат: если функции Р и Q удовлетворяют условию , то   ( - площадь области D). Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций Р и Q можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что , например, ; ; ;  и т.д. В результате  и т.д. При этом контур С (граница области D) обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул. Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом . Параметрические уравнения эллипса , поэтому ; это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.

Поток жидкости через поверхность. Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём V течёт поток жидкости, имеющий скорость в точке М. Пусть в V размещена проницаемая (возможно, воображаемая) поверхность . Требуется найти количество  жидкости, протекающей через  за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

 16.4.3.1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , найдём  и площадь части  (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности   на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .

 Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

 Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость. Пусть поверхность   взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме  выразим площадь  через двойной интеграл по её проекции  на плоскость Оху: . Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка  такая, что . Значение подынтегральной функции  будем вычислять в точке , такой, что . Тогда .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при  (при этом и ) даёт

Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

Масса поверхности. Пусть на поверхности s распределена масса с поверхностной плотностью m(x,y,z). Тогда масса m поверхности равна

m = .

Статические моменты и центр масс. Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны соответственно    

Поверхностные интегралы

Поверхностный интеграл второго рода (по координатам).

 Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве  переменных x,y,z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке  задана сторона поверхности), и на которой определена функция R(x,y,z). Разобьём поверхность на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , найдём , нормаль  в точке  к выбранной стороне поверхности, и площадь  проекции части  на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое  возьмём со знаком "+", если  (т.е. если угол   между  и осью Oz - острый; проекция  на орт  оси Oz положительна), и со знаком "-", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид .

Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пусть поверхность  взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. В этом случае   имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид . Если поверхность задана уравнением , , то эта сумма равна . В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла . Переход к пределу при  (при этом и ) даст

. Напомню, что эта формула получена для верхней стороны поверхности. Если выбрана нижняя сторона, то все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "-", и интегральная сумма будет иметь вид . Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае . Окончательно, , где знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней стороны.

Теория поля.

Скалярное поле

17.1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент. Все физические процессы, проходящие в любой области пространства, характеризуются определёнными значениями некоторых величин. Так, нагревание тела описывается изменением температуры в точках этого тела; загнивание экономического региона характеризуется количеством остановленных в нём предприятий и т.д. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой скалярной величины u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u(M). Поле называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем изучать только стационарные поля.

Частные случаи скалярных полей.

Скалярное поле называется плоским, если существует такая плоскость П, что поле принимает одинаковые значения во всех точках прямой, перпендикулярной плоскости П. Другими словами, это поле устроено одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости П. Удачным выбором координатной системы в этом случае будет ввести её так, чтобы плоскость П была плоскостью Оху. Тогда ось Оz будет перпендикулярна П, и, по определению плоского поля, функция u(M) не должна зависеть от z, т.е. u(M) = u(х,у). Поверхности уровня этого поля - цилиндрические поверхности с образующими, перпендикулярными плоскости П; след этих поверхностей в плоскости П даст линии уровня функции u(х,у).

Дифференциальные характеристики векторного поля.

Дивергенция векторного поля

Пусть в некоторой системе координат . Скалярная величина (скалярное поле)  называется дивергенцией поля в точке М и обозначается : . С помощью оператора набла дивергенция определяется как скалярное произведение . В дальнейшем мы увидим, что дивергенция инвариантна относительно системы координат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем свойства дивергенции:

Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

Частные случаи векторных полей.

Векторное поле называется однородным (или постоянным), если .

Векторное поле называется плоским, если все векторы (M) параллельны некоторой плоскости П и одинаковы вдоль каждого перпендикуляра к П. Если система координат введена так, что П совпадает с плоскостью Оху, то, очевидно, (M). Плоское поле достаточно рассматривать в пределах плоскости Оху, так как во всех плоскостях, параллельных Оху, оно одинаково. Для плоского поля , . Пример плоского поля - магнитное поле, создаваемое током I, текущим по бесконечно длинному проводнику. Если ось Oz направлена вдоль этого проводника, то вектор напряженности магнитного поля равен , это поле определено везде, кроме оси Oz.

Векторные линии. Так как вектор (M) определяется длиной и направлением в пространстве, задание в области V поля (M) равносильно заданию в V полей длин и направлений. Геометрической характеристикой, определяющей в V поле направлений, служит совокупность векторных линий.

Определение. Векторной линией поля (M) называется любая линия, которая в каждой своей точке М касается вектора (M).

В силовой интерпретации поля векторными линиями являются силовые линии поля, в гидродинамической - векторные линии есть траектории, по которым движутся частицы жидкости (линии тока).

Поток векторного поля через поверхность.

В разделе 16.4. Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности   за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом . Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.

Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.

Вычисление потока векторного поля. В соответствии с определением П,

поток может вычисляться и с помощью поверхностного интеграла первого рода, и с помощью поверхностного интеграла второго рода. В примере 2 раздела 16.4.4.3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода было приведено вычисление потока поля  через часть плоскости , ограниченную координатными плоскостями, в том и другом представлении. Рассмотрим более сложный пример.

Теорема Остроградского. Пусть  - кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область V,  - гладкое векторное поле. Тогда поток поля  через внешнюю сторону  равен тройному интегралу от дивергенции поля  по V:

.

Инвариантное определение дивергенции. В разделе 17.2.2.1. Дивергенция векторного поля мы определили дивергенцию как выражение в определённой системе координат : . Теорема Остроградского позволяет понять смысл дивергенции поля в точке М как объективного атрибута векторного поля без использования координатной системы. Пусть  - замкнутая поверхность, окружающая точку М, V - тело, заключенное внутри ,  - вектор единичной внешней нормали к . Тогда . По теореме о среднем для тройного интеграла существует точка  такая, что . Следовательно, . Отношение значения некоторой физической величины к объёму принято называть средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к точке М, предел средней плотности называется локальным значением плотности в точке М. Таким образом, мы можем трактовать   как среднюю плотность потока в объёме V.

Основные свойства линейного интеграла.

Линейность. ;

Аддитивность. . Направление на каждой из частей L1 и L2 должно быть таким же, как и на всей кривой ;

При изменении направления вдоль L линейный интеграл меняет знак. Это следует из того, что вектор (M) меняется на -(M).

Если L - векторная линия поля, и движение происходит в направлении поля, то W>0. В этом случае вектор (M) коллинеарен (M), поэтому .

 

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика