Функция комплексной переменной, числовые ряды

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Функция комплексной переменной

 Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.

Геометрическое изображнение ФКП. Задание функции w = f(z) как пары

u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число. Иногда изображают поверхность , которую называют рельефом функции w = f(z) . На эту поверхность наносят линии уровня функции Arg f(z) ; при наличии определенного опыта этой информации достаточно для того, чтобы составить представление об изменении функции в полярных координатах. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Предел ФКП.

Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z0 = x0 + iy0. Комплексное число w0 = u0 + iv0 называется пределом функции при , если для любой -окрестности   (>0) точки w0 найдётся такая проколотая -окрестность  точки z0, что для всех  значения f(z) принадлежат . Другими словами, если z0 - собственная точка плоскости, то для любого >0 должно существовать такое >0, что из неравенства  следует неравенство  (аналогично расписывается определение для несобственной точки ). Таким образом, на языке - определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: .

Дифференцируемость функции комплексной переменной

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление  может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Геометрический смысл производной. Равенство  означает, что , где . Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать , пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует . Возьмём точки z и ; пусть w = f(z), тогда . таким образом,  в  больше ,  больше  на для любого  (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой , отображение  действует следующим образом: любой вектор  растягивается в  раз и поворачивается на угол .

Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана  по переменной х, второе соотношение  по переменной у, получим , т.е.  ( - оператор Лапласа), т.е. u(x, y) - гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим , т.е.  , т.е. v(x, y) - тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями.

Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y), т.е. такая функция, что w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) - аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической v(x, y) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y).

Ряды с комплексными членами.

Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3, …, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую - bn

(т.е. zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …).

Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд  (, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда , сходятся абсолютно). Если ряд  сходится, а ряд  расходится, то ряд  называется условно сходящимся.

Степенные комплексные ряды.

 Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида ,

где a0, a1, a2, …, an, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку z0. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

  Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Элементарные функции комплексной переменной.

1. Степенная функция ,  - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’x = 1 = v’y, u’y = 0 = -v’x,

w’ = u’x + iv’x = 1 (или, непосредственно, ). Далее,  дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = nzn-1 отлична от нуля при , следовательно, отображение w = zn  при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области  необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .

Интегрирование функций комплексной переменной.

Интегральная теорема Коши.

Интеграл от ФКП

Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками

Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f ( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f ( z) по L равен нулю: .

Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим  вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

Первообразная аналитической функции. Если функция w = f ( z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой  зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z0, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать .  Можно доказать (также, как мы доказывали существование потенциальной функции в односвязной области при выполнении условия ), что справедлива следующая

Интеграл  (). Возможные случаи: 1. Точка z0 лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.

2. . И здесь подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю

3. n = - 1, и точка z0 лежит в области, ограниченной контуром L. Сведём интеграл по контуру L к более простому интегралу по окружности  с центром в точке z0 радиуса   столь малого, что окружность  лежит внутри L. В двухсвязной области, расположенной между L и , функция  аналитична, поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области) .

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем интегральную формулу Коши в переменных z, t: . Продифференцируем эту формулу по z:  (на самом деле законность дифференцирования интеграла по параметру z требует обоснования; мы примем этот факт без доказательства). Продолжим дифференцирование: ; , и вообще . Следовательно:

Если функция f(z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f(z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) - аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).

Ряды Тейлора и Лорана.

Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель  в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как

| z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:  , так как . Итак,

 .

Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана

Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:

Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию  по степеням z - 7. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию , затем почленно продифференцируем его: . Круг сходимости . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности  ряд расходится. Далее, . Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.

Примеры разложения функций в ряд Лорана.

Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .

Здесь z0 = 2; функция теряет аналитичность в точках 

z1 = 0, z2 = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z0 (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:

1. | z – 2| < 2; 2. 2 < | z – 2| < 6; 3. | z – 2| > 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.

Нули аналитической функции.

 Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если

, но .

 Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля:  ,   . Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .

 Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде , где  - аналитическая в точке а функция, и.

Изолированные особые точки.

Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.

  Рассмотрим разложение функции f(z) в ряд Лорана   в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.

1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: .

В этом случае особая точка а называется устранимой.

Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция f(z) аналитична в области D за исключением точки a. Разложим f(z) в окрестности этой точки в ряд Лорана:

Коэффициент  называется вычетом функции  в точке а и обозначается . Если  - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.8.3. Ряд Лорана), .

Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.

Примеры нахождения вычетов.

1. .

Эта функция имеет единственную особую точку - z = 0. Функция 1 – cos z при  - бесконечно малая второго порядка, (1 – cos z)2 - четвертого, поэтому можно предположить, что существует конечный , т.е. z = 0 - устранимая особая точка. Доказываем строго:   z = 0 - устранимая особая точка.

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L. Тогда .

 Док-во. Окружим каждую особою точку zk, k = 1, 2, …,n контуром   таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, , функция аналитична, поэтому по 19.6.2.2. Теореме Коши для многосвязной области 

Бесконечно удалённая особая точка. Будем считать точку   особой точкой любой аналитической функции. В разделе 19.1.6. Окрестности точек плоскости  мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: . Точка  является изолированной особой точкой аналитической функции w = f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка   переходит в точку , функция w = f(z) примет вид . Типом особой точки  функции w = f(z) будем называть тип особой точки z1 = 0 функции . Если разложение функции w = f(z) по степеням z в окрестности точки , т.е. при достаточно больших по модулю значениях z, имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки  определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки .

Операционное исчисление.

  Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).

 Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f(t) (или преобразованием Лапласа функции f(t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством

.

 Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке p, удовлетворяющей неравенству , где  - произвольной число, такое, что . Действительно,  (так как ) = , а интеграл  сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение F(p) определено в любой точке p, такой что , т.е. в полуплоскости справа от прямой . Как следствие, показатель скорости роста оригинала число  часто называют абсциссой сходимости.

Изображения простейших функций.

  Единичная функция Хевисайда  Её изображение: , так как . Соответствие между функцией-оригиналом и изображением обозначается по-разному: знаком равенства с точками, стрелками с точками и т.д.; мы будем применять обозначения и , наиболее подходящие из имеющихся в Word’е. Итак, доказано: .

 20.1.3.2. .

.

  20.1.3.3. . (мы с помощью двукратного интегрирования по частям сводим интеграл к самому себе)

Теорема подобия. Если f(t) - функция-оригинал и , то для любого   .

 Док-во. . Иллюстрации применения этого свойства: если , то ; если , то  и т.д.

 20.2.3. Теорема смещения. Если , то . Здесь  - произвольное комплексное число.

 Док-во. .

 Составные функции. Пусть f(t) задаётся разными выражениями на различных участках области определения:

. С помощью функции Хевисайда f(t) записывается так:  , и теорема запаздывания позволяет получить изображение этой функции.

 Периодические функции. Пусть f(t)- периодическая при t > 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f1(t) функцию, описывающую первый период функции f(t):

Интегрирование оригинала. Если f(t) - функция-оригинал, и , то  - тоже функция-оригинал, и .

 Док-во.  (это повторный интеграл, вычисляемый по области ; меняем порядок интегрирования, это можно сделать, так как несобственный двойной интеграл сходится абсолютно)   .

Дифференцирование оригинала. Если функция-оригинал f(t) имеет производную , тоже являющуюся оригиналом, и , то .

Дифференцирование изображения. Если f(t) - функция-оригинал, и , то .

Док-во. . Дифференцируя это соотношение по параметру р, получаем .

Иллюстрации этого свойства. С его помощью просто получаются изображения степенных функций: , или ; , или ,, или ; , или , и вообще .

 Другие иллюстрации:  , …, .

  и т.д.

Теорема Бореля (теорема об умножении изображений). Изображение свёртки двух оригиналов равно произведению изображений свёртываемых оригиналов.

 Док-во.  (меняем порядок интегрирования)=  .

 С помощью этой теоремы легко находить оригиналы для изображений вида .

Обращение преобразования Лапласа

 Формула Римана-Меллина. Если функция F(p) - изображение функции-оригинала f(t), то f(t) может быть найдена по формуле

.

Это равенство имеет место в каждой точке, в которой f(t) непрерывна. В точках разрыва функции f(t) значение правой части равно . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой  , и интеграл понимается в смысле главного значения:

.

Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа.

 Примеры. 1. . Представляя изображение в виде   и сравнивая эти выражения с формулами 9, 10 таблицы, находим оригинал .

2. . Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему 20.2.5 об интегрировании оригинала:

Приложения операционного исчисления nк решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

 Начальные условия в этой задаче заданы в точке t0 = 0. Если начальные условия задаются в другой точке , то заменой аргумента u = t - t0 их сдвигают в точку u0 = 0.

 Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x(t), её производные до n-го порядка, правая часть f(t) являются функциями-оригиналами, и . Тогда , , …, , и изображение задачи будет иметь вид , где  - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X(p) алгебраическое уравнение, решив которое, находим X(p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.

 Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где f(t) - изображённая на рисунке периодическая функция

Формулы Дюамеля. При решении задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения согласно тому порядку действий, который изложен выше, необходимо находить изображение правой части уравнения, что в некоторых случаях может быть затруднительно или вообще невозможно. Формулы Дюамеля позволяют находить решение, не выписывая в явной форме изображение правой части. Они основаны на интегралах Дюамеля, рассмотренных в пункте 20.2.8.3:

Обращение преобразования Лапласа.

 Формула Римана-Меллина. Если функция  - изображение функции-оригинала , то  может быть найдена по формуле

.

Это равенство имеет место в каждой точке, в которой  непрерывна. В точках разрыва функции  значение правой части равно  . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой  , и интеграл понимается в смысле главного значения:

.

Первая теорема разложения. Если точка  является нулём функции ,  аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки  имеет вид , то функция  есть изображение функции .

 Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде : так как , то , и .

 Примеры. 1 .  . Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции  в окрестности точки : .

 2. . Здесь .

Приложения операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

 20.5.1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

 Начальные условия в этой задаче заданы в точке . Если начальные условия задаются в другой точке , то заменой аргумента  их сдвигают в точку .

 Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция , её производные до -го порядка, правая часть  являются функциями-оригиналами, и . Тогда , , …, , и изображение задачи будет иметь вид , где  - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно  алгебраическое уравнение, решив которое, находим . Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.

 Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где  - изображённая на рисунке периодическая функция периода Т:

 

Решение систем линейных уравнений. Системы решаются так же, как и отдельные уравнения, поэтому сразу рассмотрим пример. 

 Найти решение системы удовлетворяющее условиям: при  

 Решение. Пусть , . Тогда  , и изображение задачи имеет вид   

Решаем эту систему относительно : из первого уравнения вычитаем второе, умноженное на р:  (после разложения на простые дроби)

Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса. Требуется вычислить циркуляцию поля  по контуру С, образующемуся в результате пересечения поверхности  с координатными плоскостями.

 Решение. Непосредственное вычисление.

Инвариантное определение ротора. Пусть . Возьмём малую плоскую площадку , ограниченную контуром С. По теореме Стокса циркуляция по С равна . Считая, что  мало меняется на , и что поверхностный интеграл равен , получим . Будем теперь крутить площадку вокруг точки М, при этом циркуляция меняется вместе с . Максимальное значение циркуляция получит при , т.е. когда направления  и  совпадут. Следовательно,  указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна . Модуль ротора определяется соотношением .

Достаточные условия потенциальности.

 Теорема. Если область V и поле (M) удовлетворяют следующим условиям:

V - односвязная область;

Поле (M)  - безвихрево (т.е. ),

то (M) - потенциальное в V поле.

 Доказательство. Напомним определение односвязной области: область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области. Нам при доказательстве теоремы придётся строить поверхности, натянутые на контуры; определение односвязности как раз гарантирует, что такие поверхности существуют, и ими могут служить поверхности, образующиеся при деформации контура в точку.

Нахождение потенциала. В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля (M), то , где  - фиксированная точка. Обычно, если в точке О(0,0,0) поле не имеет особенностей, то в качестве точки  берётся именно эта точка; если в этой точке поле не определено, берётся другая точка. Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим .

Пример. Доказать, что поле  потенциально, и найти потенциал этого поля.

Решение. Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области V, не содержащей точку О(0,0,0). Условие безвихревости поля :

Соленоидальное векторное поле

Определение соленоидального поля. Векторное поле (M) называется соленоидальным в области V, если во всех точках этой области .

 Согласно этому определению, поле не может иметь в области V источников и стоков; таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

 Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: .

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

Гармонические поля.

Оператор Лапласа. Пусть функция  имеет непрерывные вторые частные производные. Вычислим . Оператор , с помощью которого по функции   получена функция , называется оператором Лапласа, или лапласианом. Формально его можно получить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла:

.

Равномерная сходимость функционального ряда. Факт сходимости ряда  к своей сумме  в точке сходимости х означает, в соответствии с определением предела, то, что для любого числа  существует такое натуральное N, что при n>N верно . Здесь  - частичная сумма ряда в точке х. Число N зависит, естественно, от , но оно зависит и от х, т.е. . В некоторых точках области сходимости ряд может сходиться к своей сумме быстро, т.е. неравенство  будет выполняться при не очень больших значениях N, в других точках эта сходимость может быть медленной. Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда  - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке , то сумма этого ряда непрерывна на .

Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке , и ряд равномерно сходится к своей сумме  на этом отрезке: . Тогда , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

Степенные ряды.

  Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где   - постоянные (коэффициенты ряда),  - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .

 Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

 Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

 Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R   (возможно, ) такое, что при  степенной ряд сходится, при  ряд расходится. Действительно, пусть в точке  ряд сходится, в точке  ряд расходится. Рассмотрим точку , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке  числовой ряд  либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку  в точку ; если ряд в точке  расходится, мы переносим в  точку . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки  и , эта граница и определит число R.

Формулы для радиуса сходимости. Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда  через его коэффициенты. Ряд из модулей: ; применение к этому ряду признака Коши даёт .

Применение признака Даламбера даёт . Итак, .

Свойства степенного ряда и его суммы.

Ряд Тейлора. Мы доказали, что сумма  степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы (похожую задачу мы решали в разделе 7.7. Формула Тейлора).

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Стандартные разложения.

.

Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 18.1. Основные определения) мы доказали, что эта функция является суммой ряда , и ряд сходится к функции при . Итак,

 .

Выпишем несколько разновидностей этого ряда.

Решение задач на разложение функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням , решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров.

1. Разложить функцию  по степеням .

 Решение. . Ряд сходится при .

2. Разложить функцию  по степеням .

Применения степенных рядов.

18.2.6.3.1. Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке , и функция разлагается в окрестности точки  в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке , которое надо найти, равно , и принимается . Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины . Погрешность равна остатку ряда после n-го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для  (или ). При оценке  принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то  просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией. В разделе 18.4.2. Знакочередующиеся ряды мы рассмотрели и тот, и другой случай при нахождении значений   и ; в разделе 7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора приведён пример вычисления значения  с погрешностью . Другие примеры будут рассмотрены ниже.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть дана задача Коши: ,

  

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так.  . Первые n коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

 Примеры. 1. . Из уравнения находим . Дифференцируем уравнение: . Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке : , . Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши: .

Ряды Фурье.

Тригонометрическая система функций и её ортогональность на отрезке .

 Определение. Тригонометрической системой функций называется следующая бесконечная система функций: .

 Определение. Непрерывные на отрезке  функции  и  называются ортогональными на этом отрезке, если .

 Другими словами, мы вводим понятие скалярного произведения функций на множестве функций, непрерывных на отрезке . Это скалярное произведение будем обозначать символом : . Функции  и  ортогональны на отрезке , если их скалярное произведение равно нулю.

  Утверждение. Тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке .

Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической функции периода .

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

  .

 Условия сходимости этого ряда мы сформулируем дальше, сейчас предположим, что этот ряд сходится в любой точке, и что его сумма равна . Очевидно, что  - периодическая функция периода  (как сумма периодических функций). Выразим коэффициенты ряда через функцию . Умножая скалярно равенство  на 1, получим 

. Так

Условия Дирихле. Теорема Дирихле. Поставим обратный вопрос. Предположим, что для функции , имеющей период , вычислены коэффициенты по формулам , и составлен ряд Фурье . Будет ли этот ряд сходиться? Будет ли его сумма равна ?

Ответы на эти вопросы даёт теорема Дирихле.

Примеры разложения функций в ряд Фурье.

.

Мы пишем , подразумевая, что это верно на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

 Решение. Вычисляем коэффициенты Фурье: ; ;  .

Итак,

.

На рисунке слева изображён процесс приближения частичных сумм ряда к   при небольших количествах слагаемых. Приведены графики ,  и

. Приближение частичных сумм при   изображено на рисунке ниже. Здесь приведены графики сумм .

Коэффициенты ряда Фурье чётных и нечётных функций. Если   - чётная функция, то произведение  - функция нечётная, и по известному свойству определённого интеграла от нечётной функции, . Мы проверили это на примере функции . Произведение  в этом случае - функция чётная, поэтому . Итак, для чётных функций .

Если  - нечётная функция, то произведение  - функция нечётная, поэтому . Произведение  - функция чётная, поэтому . Итак, для нечётных функций .

Ряд Фурье функций периода . Пусть теперь требуется разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале . Сделаем линейную замену независимой переменной . Если , то . В результате функция  определена на интервале , и мы можем разложить её в ряд Фурье , где  Вернёмся в этих формулах к переменной х: , , .

Теория рядов.

Числовые ряды.

Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность .

Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись

. (18.1.1)

 Эквивалентная (18.1.1) форма записи ряда

Свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда

  (18.2.1)

стремится к нулю при : .

18.1.3. Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами:  для . Для таких рядов частичная сумма  является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов:

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

Теоремы сравнения положительных рядов.

Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда   и , для которых, хотя бы начиная с некоторого места (при n>N), выполняется неравенство . Тогда:

если сходится ряд (В), то сходится ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится ряд (В).

Другими словами, из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда. Сразу отметим, что из расходимости большего ряда, как и из сходимости меньшего ряда, никаких выводов о сходимости второго ряда сделать нельзя.

Предельная форма признака сравнения. Если существует конечный , то ряды (А) и (В) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела для  . Последнего неравенства достаточно для доказательства всех утверждений теоремы.  сходится  сх-ся  сх-ся. остальные случаи схематично: (А) расх-ся   (3К/2 B) расх-ся  (B) расх-ся; (B) сх-ся  (3К/2 B) сх-ся  (A) сх-ся; (B) расх-ся  (К/2 B) расх-ся  (A) расх-ся.

Признак сходимости Коши (радикальный). Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q<1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q=1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

Признак сходимости Даламбера. Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q<1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q=1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

Интегральный признак Коши. Радикальный признак Коши и признак Даламбера могут установить факт сходимости или расходимости для широкого круга рядов, но для рядов, общие члены которых содержат степенные выражения, они дают q =1, и вопрос о сходимости остаётся открытым. Мы это видели на примере рядов  и . То же мы получим для рядов вида ,  и т.д. Для некоторых из этих рядов оказывается результативным интегральный признак Коши.

 Теорема. Пусть члены положительного числового ряда  являются значениями непрерывной монотонно убывающей неотрицательной функции  при натуральных значениях аргумента:  Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно.

Знакопеременные ряды. Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов. Естественно попытаться свести исследование сходимости таких рядов к исследованию сходимости рядов с положительными членами, для которых имеются рассмотренные выше тонкие признаки сходимости, поэтому введём понятие абсолютной сходимости.

Знакочередующиеся ряды.

 Определение. Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.

 Согласно этому определению, структура знакопеременных рядов такова:

, или , где все . Мы будем рассматривать первую из этих форм; вторая сводится к первой выносом знака за сумму.

  Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Свойства сходящихся рядов и их сумм. В разделе 18.2. Свойства сходящихся рядов мы сформулировали и доказали некоторые из этих свойств. Напомним:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: .

 Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

Умножение рядов. Пусть даны два ряда   и  . Под произведением рядов (А) и (В) понимается ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (А) и (В):

.

Оказывается, и здесь надо различать абсолютно и условно сходящиеся ряды. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма  и , то ряд (С) при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна . Для условно сходящихся рядов это утверждение несправедливо.

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3.

 Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. .

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть z1 = 2 - 3 i,  z2 = 4 + 5 i. Тогда z1 + z2 = (2 – 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 + 2 i; z1z2 = (2 – 3i) (4 + 5i) = ; .

19.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если , , то сопряженное число равно , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z. По определению, любое число w, такое, что w n= z, называется корнем n -ой степени из числа z. Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому |w| n= |z|, n arg w n= Arg z, откуда , , при этом n различных значения корня n -ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, …, n-1.

Задание кривых и областей на комплексной плоскости.

Так как  равен расстоянию между точками z и z0, то

 1.  - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.

  2.  - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу.

 3.  - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область.

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика