Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Производная Основные понятия Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Теорема ( о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Примеры. Найти производную функции.

Производная степенной функции с любым действительным показателем Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx =  xn = nxn-1. Использование понятия неопределенного интеграла в экономике

Производные высших порядков Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Дифференцирование функций, заданных параметрически Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Математика Функции и их графики Пределы

Дифференцирование функций, заданных неявно Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Пример

Логарифмическое дифференцирование Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Теорема о связи между существованием производной и существованием дифференциала. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Свойства дифференциала Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d().

Производная по направлению. Градиент функции

 

Для характеристики скорости изменения функции где в заданном направлении введем понятие производной по направлению.

Возьмем на плоскости, где задана функция некоторую точку и найдем скорость изменения функции при движении точки в произвольном направлении Пусть вектор имеет начало в точке и направляющие косинусы

 

 

Приращение функции возникающее при переходе от точки к некоторой точке в направлении вектора определяется как

Тогда

Определение. Производной от функции  в точке по направлению называется предел

и вычисляется по формуле

 

 (3.7)

Производная по направлению  и характеризует скорость изменения функции в точке по этому направлению. Если то функция возрастает в направлении если то функция в направлении убывает. Кроме того, величина представляет собой мгновенную скорость изменения функции в направлении в точке чем больше тем быстрее изменяется функция  В этом состоит физический смысл производной по направлению.

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Их можно рассматривать как производные от функции   по направлению координатных осей Так, если направление  совпадает с положительным направлением оси то, положив в формуле (3.7) получим так как 

Пример 20. Найти производную функции по направлению вектора в точке  Возрастает или убывает данная функция в указанном направлении?

Решение. Найдем частные производные функции в точке

Вычислим направляющие косинусы вектора

Подставляя найденные значения в формулу (3.7), получаем:

Так как то функция возрастает в направлении вектора

Пример 21. Найти производную функции в точке

по направлению биссектрисы первого координатного угла;

по направлению вектора

по направлению вектора

 Решение. Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке  

Подставляя полученные результаты в формулу (3.7), найдем производную функции  в точке  по любому направлению

Находим далее косинусы углов  образованных заданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функции по заданному направлению.

Для биссектрисы первого координатного угла тогда поэтому

Вектор

Для вектора тогда

Последний результат говорит о том, что функция в направлении вектора не изменяется, то есть остается постоянной (стационарной).

Вектор, указывающий направление, в котором производная по направлению имеет наибольшее значение, называется градиентом.

Можно заметить, что правая часть формулы (3.7) представляет собой скалярное произведение единичного вектора и некоторого вектора

Определение. Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке называют градиентом функции и обозначают то есть или 

  (3.9)

Отметим, что есть векторная величина. Равенство (3.7) можно записать в виде

или

 

 (3.10)

где угол между вектором и направлением

Из формулы (3.10) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда то есть при Таким образом, направление градиента совпадает с направлением вдоль которого функция меняется быстрее всего, значит градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции в точке равна

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору равна нулю.

Пример 22. Найти градиент функции в точке

Решение. Найдем частные производные данной функции и вычислим их в точке

 

Следовательно,

Пример 23. Найти точки, в которых функция стационарна (то есть точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).

Решение. Чтобы в некоторой точке производная функции по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нуль.

Найдем частные производные первого порядка данной функции:

Решим систему уравнений

Получили две точки в которых данная функция  стационарна.

Пример 24. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки через точку ? В каком направлении должна двигаться точка при переходе через точку чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?

Решение. Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции при переходе точки через точку численно равна модулю градиента функции в точке  При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка при переходе через точку двигаться по направлению градиента функции в точке или прямо противоположному направлению.

Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции и по формуле (3.8) – её градиент в любой точке:

 

Далее: 1)вычислим частные производные функции в точке

тогда  его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости возрастания функции при переходе через точку будет

2) найдем градиент функции в точке

искомый вектор, имеющий прямо противоположное направление, будет  

Чтобы функция убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точку точка должна двигаться в направлении вектора

Пример 6.1. Рассмотрим функцию:

 (6.1)

Даная функция имеет в точке  разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при  и справа и слева:

 (6.2)

 (6.3)

Пример 6.2. Рассмотрим следующую функцию:

 (6.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при  ни слева, ни справа:

 (6.5)

 (6.6)

На рис. 6.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 6.1  и 6.2 .

Понятие производной

Пример 6.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=

Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой  равен значению производной в этой точке:

 (6.14)

Механический смысл производной: скорость  прямолинейного движения материальной точки в момент времени  есть производная от пути  по времени , т.е.:

 (6.15)

4. Правила дифференцирования

1. Если функции  и  дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

 (6.16)

Пример 6.4. Найти производную функции

2. Если функции  и  дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:

 (6.17)

Пример 6.5. Найти производную функции

3. Если функция  дифференцируема в данной точке , то в той же точке дифференцируема и функция представляющая собой произведение функции  на константу . При этом данную константу можно вынести за знак производной:

 (6.18)

Пример 6.6. Найти производную функции

4. Если в данной точке  функции  и  дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное , причем:

 (6.19)

Пример 6.7. Найти производную функции

5. Если функция  имеет производную  в точке , а функция имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  в данной точке  имеет производную , которая находится по следующей формуле:

 (6.20)

Пример 6.8. Найти производную функции

 

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика