Механика
Сопромат
Физика
Информатика
Задачи
ТОЭ
Ядерная физика
История искусства
Тех мех
Математика
Типовой
Технологии
Задачи
Лабораторные
Начертательная
Карта

Пределы и непрерывность функции Примеры решения задач

Некоторые признаки существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.

 Укажем два признака существования предела функции.

 Теорема (о промежуточной функции).

  Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями j (x) и y (x), имеющими одинаковый предел А при x ® a, то есть j (x) £ f(x) £ y (x) и

  Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

  Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x1)<f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

 Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f( ) > f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X). Интегрирование функций нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области, "кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.

  Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

  Если f( ) £ f( ) для x1< x2, то f(x) называют неубывающей, а если f(x1) ³ f(x2) для x1< x2 – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

 Теорема. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x< a (или при x > a). Тогда существует соответственно  (или ).

Пример 14. Вычислить

Решение: 

 

Непрерывность функции

 в точке, на отрезке, в области.

 

Упражнение.

Найти односторонние пределы функции , заданной графически, в соответствующих точках разрыва.

  Найти:  и

Пример 16. Найти точки разрыва функций, определить характер разрыва, сделать чертеж, если

 

 

 

Решение:

функция  не определена при ; , следовательно

  - точка разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в точке . Известно, что  (первый замечательный предел), следовательно, односторонние пределы равны

.

Таки образом точка  является устранимым разрывом функции .

Функция   не определена при ,,

найдем односторонние пределы в точке разрыва:

Итак, точка  является точкой разрыва 1го рода – конечного скачка

 


Функция   не определена в точке ,

следовательно  - точка разрыва функции, найдем односторонние пределы в точке разрыва:

 .

. Согласно определению 2 точка  является разрывом 2го рода (бесконечного скачка)

 


 


На главную