Механика
Сопромат
Физика
Информатика
Задачи
ТОЭ
Ядерная физика
История искусства
Тех мех
Математика
Типовой
Технологии
Задачи
Лабораторные
Начертательная
Карта

Пределы и непрерывность функции Примеры решения задач

Первый и второй замечательные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

  .

  Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

 Пример 8. Вычислить

 Решение. Преобразуем данное выражение:

 Пример 9. Найти

 Решение. Для того чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, перейдем к новой переменной  которая при  стремится к нулю. Тогда имеем

  При вычислении пределов вида , где    используется второй замечательный предел:  или  или ,

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Пример 6.1. Рассмотрим функцию:

  (6.1)

Даная функция имеет в точке  разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при  и справа и слева:

  (6.2)

 (6.3)

Пример 6.2. Рассмотрим следующую функцию:

  (6.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при  ни слева, ни справа:

  (6.5)

 (6.6)

На рис. 6.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 6.1  и 6.2 .


На главную