Механика
Сопромат
Физика
Информатика
Задачи
ТОЭ
Ядерная физика
История искусства
Тех мех
Математика
Типовой
Технологии
Задачи
Лабораторные
Начертательная
Карта

Пределы и непрерывность функции Примеры решения задач

 Пример. Функция  является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

 Говорят, что функция  непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

 Если функция  непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то говорят, что она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

  Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим  и назовем его приращением аргумента в точке ,  будем называть приращением функции в точке .

Теорема. Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть

 Докажем теорему. Пусть  непрерывна в точке . Тогда  по определению. Если обозначить , то  и тогда равенство, определяющее непрерывность, можно переписать так:  или  и тогда  Аналогично доказывается это утверждение в другую сторону: если , то . Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D: С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.

 Сформулируем основные теоремы о непрерывных функциях.

 Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве Х функции  и  непрерывны в точке . Тогда функции ,  и  (если ) непрерывны в точке .

 Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке . Тогда сложная функция  непрерывна в точке .

  Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например,  является элементарной.

Пример 6.7. Найти производную функции

5. Если функция  имеет производную  в точке , а функция имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  в данной точке  имеет производную , которая находится по следующей формуле:

  (6.20)

Пример 6.8. Найти производную функции


На главную