Элементы линейной алгебры

Информатика
История искусства
Технологии
Карта

Определители второго порядка Определение. Выражение называется определителем 2-го порядка.

Определители 3-го порядка Определение. Выражение

называется определителем 3-го порядка.

Пример. Вычислить определитель: по правилу треугольника.

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений  первого порядка

Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример. Вычислить определитель , разлагая его по элементам второй строки.

Определитель в правой части формулы называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.

Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.

Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пример. Вычислить определитель , используя свойства определителей.

Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов определителя в нуль с помощью свойств определителей.

Метод приведения к треугольному видузаключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.

Суммой матриц размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:

Пример 1. Исследовать функцию  на возрастание и убывание.

Решение. Функция определена при всех . Ее производная   при всех . Таким образом, данная функция возрастает на всей своей области определения.

Пример 2. Исследовать функцию  на возрастание и убывание.

Решение. Областью определения данной функции является все множество действительных чисел, то есть . Производная функции .

, если  или    или .

Отсюда следует, что функция  возрастает на интервалах  и .

, если  или   .

Таким образом, данная функция убывает на интервале

Пример 3. Исследовать функцию  на возрастание и убывание.

Решение. Найдем область определения данной функции: , , , .

Производная функции , .

.

Решим неравенства  и :

 

 

Получили, что при , а при  .

Учитывая, что область определения функции есть интервал , делаем вывод: данная функция возрастает в интервале  и убывает в интервале .

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Область определения данной функции – множество всех действительных чисел, то есть .

Согласно правилу исследования функции на экстремум:

а) находим производную функции  и критические точки. Полагая , получим , , . Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, поэтому точки ,  и  являются критическими;

б) исследуем критические точки, определяя знак  слева и справа от каждой точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде следующей таблицы:

x

-1

0

1

+

0

+

0

-

0

-

y

возр.

нет экстр.

возр.

max

убыв.

нет

экстр.

убыв.

В первой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси, между ними расположены промежутки, на которые критические точки разбивают числовую ось, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в каждом из промежутков, полученные путем вычисления значения производной в какой-либо точке соответствующего промежутка, то есть

,

,

,

.

В третьей строке – заключение о проведении функции: возрастание функции (), убывание ().

Так как производная поменяла свой знак при переходе аргумента x только через точку , поэтому данная функция имеет одну точку экстремума . Эта точка является точкой максимума, так как знак производной поменялся с плюса на минус.

. До точки  в интервале  функция неизменно возрастает, а после нее в интервале  она неизменно убывает.

 

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика