Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Теорема Лагранжа  Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Теорема Коши

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хb) и f(а) = (а) = 0. Примеры на применение правила Лопиталя.

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Экстремумы Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f(x2) < f(x1)) . Теорема ( достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале. Теорема ( достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Пример . Исследовать функцию и построить ее график.

Пример 14. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. а) данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки .

;

Следовательно, в точке  функция имеет разрыв второго рода (бесконечный). В остальных точках числовой оси данная функция непрерывна;

б) найдем :

, , , поэтому функция является функцией общего вида, не периодическая;

в) точки пересечения графика функции с осями координат:

при   не существует, а значит и точек пересечения графика с осью  не существует;  при , но точка  не принадлежит области определения функции и согласно пункту а) начало координат является предельной точкой левой ветви графика.

Найдем интервалы знакопостоянства функции:

 при всех значениях  из области определения функции, так как   для любых значений ,   для любых значений  по свойствам показательной функции. Таким образом данная функция положительна на всей своей области определения;

д) найдем асимптоты графика функции:

вертикальной асимптотой графика функции является прямая , так как при  функция имеет бесконечный разрыв:

, значит наклонной асимптоты графика функции при   не существует;

. Наклонных асимптот график функции не имеет;

е,ж) исследуем функцию на монотонность и экстремум: найдем .

, если , . Точка  является критической, так как она является внутренней точкой области определения;  не существует в точке , но она не является критической, так как это точка разрыва. Исследования запишем в виде таблицы:

 

x

0

-

не сущ.

-

0

+

y

убыв

не сущ

убыв

 

min

возр.

,

,

.

Критическая точка  является точкой минимума, . В интервалах  и  функция убывает, а в интервале   она возрастает;

и,к) исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и перегиб.

;

, если  для всех  из области определения функции, так как , а старший коэффициент ,  для всех  из области определения функции,  как показательная функция, поэтому  не обращается в нуль нигде и существует во всей области определения функции. Делаем вывод,что график функции не имеет точек перегиба; а так как  на всей области определения функции, значит график функции всюду вогнутый.

Так как результатов исследований не достаточно для построения графика функции, найдем дополнительные точки, беря подходящие значения   из данного уравнения:

при  , то есть точка ;

при  , то есть точка ;

при  , то есть точка .

Строим график функции:

 

Дифференциал функции

Пример 15. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную функции :

.

 По формуле (1.2) находим :

.

Пример 16. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную функции :

.

Тогда согласно формуле (1.2) получаем:

.

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика