Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Информатика
История искусства
Технологии
Карта

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Теорема Коши

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хb) и f(а) = (а) = 0.

Примеры на применение правила Лопиталя.

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Экстремумы Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f(x2) < f(x1)) .

Теорема ( достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Теорема ( достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции.

Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Пример . Исследовать функцию и построить ее график.

Пример 14. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. а) данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки .

;

Следовательно, в точке  функция имеет разрыв второго рода (бесконечный). В остальных точках числовой оси данная функция непрерывна;

б) найдем :

, , , поэтому функция является функцией общего вида, не периодическая;

в) точки пересечения графика функции с осями координат:

при   не существует, а значит и точек пересечения графика с осью  не существует;  при , но точка  не принадлежит области определения функции и согласно пункту а) начало координат является предельной точкой левой ветви графика.

Найдем интервалы знакопостоянства функции:

 при всех значениях  из области определения функции, так как   для любых значений ,  для любых значений  по свойствам показательной функции. Таким образом данная функция положительна на всей своей области определения;

д) найдем асимптоты графика функции:

вертикальной асимптотой графика функции является прямая , так как при  функция имеет бесконечный разрыв:

, значит наклонной асимптоты графика функции при   не существует;

. Наклонных асимптот график функции не имеет;

е,ж) исследуем функцию на монотонность и экстремум: найдем .

, если , . Точка  является критической, так как она является внутренней точкой области определения;  не существует в точке , но она не является критической, так как это точка разрыва. Исследования запишем в виде таблицы:

 

x

0

-

не сущ.

-

0

+

y

убыв

не сущ

убыв

 

min

возр.

,

,

.

Критическая точка  является точкой минимума, . В интервалах  и  функция убывает, а в интервале   она возрастает;

и,к) исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и перегиб.

;

, если  для всех  из области определения функции, так как , а старший коэффициент ,  для всех  из области определения функции,  как показательная функция, поэтому  не обращается в нуль нигде и существует во всей области определения функции. Делаем вывод,что график функции не имеет точек перегиба; а так как  на всей области определения функции, значит график функции всюду вогнутый.

Так как результатов исследований не достаточно для построения графика функции, найдем дополнительные точки, беря подходящие значения   из данного уравнения:

при  , то есть точка ;

при  , то есть точка ;

при  , то есть точка .

Строим график функции:

 

Дифференциал функции

Пример 15. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную функции :

.

 По формуле (1.2) находим :

.

Пример 16. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную функции :

.

Тогда согласно формуле (1.2) получаем:

.

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика