Линейная алгебра Примеры решения задач

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Пример. Вычислить произведение матриц и .

Решение. Согласно определению произведение матриц получаем так: умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Умножаем далее элементы первой строки матрицы A на элементы второго столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и второй столбец матрицы-произведения и т.д. Матрицу, все элементы которой равны нулю, мы будем называть нулевой .

Пример . Пусть . Найти значение многочлена

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Рассмотрим матрицу,составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А и называемую присоединенной к матрице А. Отметим, что алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находят так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы

Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка.

Пример. Найти ранг матрицы

Пример. Вычислить ранг матрицы

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Метод Гаусса Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, аrr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Пример. Решить систему

Пример. Исследовать совместность системы

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений  Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Пример. Решить систему

Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных

Функции двух переменных. Основные понятия и определения

Пример 1. Найти область определения функции .

Решение. Аналитическое выражение имеет смысл при любых значениях  и . Следовательно, областью определения функции является вся плоскость :

 

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Для того, чтобы имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, то есть  и  должны удовлетворять неравенству  или  

Все точки , координаты которых удовлетворяют неравенству, лежат внутри круга радиуса 2 с центром в начале координат и на границе этого круга.

 

 

 

Определение. Множество всех точек  плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется -окрестностью точки  Другими словами, -окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром и радиусом

 

 Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки.

Определение. Число  называется пределом функции  при  и  (или, что то же самое, при , если для любого  существует  такое, что для всех   и  и удовлетворяющих неравенству   выполняется неравенство .

Записывают:

 или

Определение. Функция  (или  называется непрерывной в точке , если она:

а) определена в этой точке и некоторой её окрестности;

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции  в точке , то есть

 или

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва  могут образовывать целые линии разрыва. Так функция  имеет линию разрыва

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. Считая  функцией только одной переменной находим

Аналогично, считая  функцией только получим

Пример 4. Найти частные производные от функции

Решение. Рассуждая аналогично предыдущему примеру, получим

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика