Пределы и непрерывность функции

Информатика
История искусства
Технологии
Карта

Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У.

Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

Пример. Доказать, что  (2х +1) = 7.

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Односторонние пределы Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью. Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям

Пример. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а  g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

  Замечание.Если , то в силу определения предела функции получаем: ïf(x)-Aï<e при xÎ O(а, б), что означает, что f(x)A является бесконечно малой при x® a. Тогда, полагая f(x)-A=a(x), имеем f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a.

Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей

Пример . Найти

Пример. Найти пределы: , ,

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию.

Решение. Найдем область определения функции: , ,  или . Таким образом данная функция определена и непрерывна во всех точках отрезка .

а) найдем производную функции:

Производная обращается в нуль, если , ,  и не существует при .

Однако, критическими точками являются только точки  и , они лежат внутри области определения функции, то есть внутри отрезка . Точки  и  не являются критическими, так как они лежат не внутри области определения функции , а на ее границах.

б) исследуем критические точки по знаку производной  в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:

x

-

0

+

0

-

y

убывает

min.

возр.

max

убыв.

, ,

.

Согласно полученной таблице функция  имеет две точки экстремума: точку минимума , ,

и точку максимума , .

1.3. Выгнутость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Пример 6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось. Найдем вторую производную функция: , .

Согласно правилу найдем точки перегиба:

а) ищем точки, в которых  или не существует, а функция непрерывна и которые лежат внутри области определения:

, ,  и . Эти точки являются искомыми. Других точек , которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как  существует всюду;

б) исследуем найденные точки, определяя знак  слева и справа от каждого из них. Запишем это исследование в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума:

 

x

-

0

-

0

+

y

выпуклая

 

выпуклая

2

вогнутая.

,

,

.

Из таблицы следует, что  есть абсцисса точки перегиба графика функции: .

Так как данная функция непрерывна, то во всем интервале  график выпуклый, а во всем интервале  - вогнутый.

Пример 7. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию  и найти точки перегиба графика.

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось, кроме точки .

Найдем вторую производную функции:

, .

Здесь  не может обратиться в нуль, а при  она не существует. Точка   не может быть абсциссой точки перегиба, так как в этой точке функция имеет разрыв. При  , при  , поэтому график данной функции вогнутый на всей своей области определения.

Пример 8. Исследовать на выпуклость и вогнутость и точки перегиба график функции .

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось, значит функция непрерывна всюду.

Найдем первую и вторую производные функции:

, .

Найдем критические точки второго порядка, исходя из условия : , . Других критических точек функция не имеет, так как   существует всюду. Исследуем полученную точку на перегиб согласно правилу, для этого составим таблицу:

 

x

-

0

+

y

выпуклая

-2

вогнутая.

,

.

Из таблицы следует, что  есть абсцисса точки перегиба графика функции, который выпуклый при  и вогнутый при .

.

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика