Первый и второй замечательные пределы Задачи на вычисление пределов

Информатика
История искусства
Технологии
Карта

Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.  Укажем два признака существования предела функции.

Первый и второй замечательные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть   .  Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

Непрерывность функции Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

Пример. Функция   является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

  Все элементарные функции непрерывны в области определения Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль.

Пример 5. Найти частные производные от функции

Решение. Преобразуем данную функцию, используя свойство степеней,

Тогда

Пример 6. Найти частные производные от функции

Решение.  Пример 7. Проверить, удовлетворяет ли функция  уравнению

Решение. Найдем частные производные данной функции

 

Полученные правые части подставим в левую часть данного уравнения:

Сравнивая полученные выражения  делаем вывод, что функция  удовлетворяет данному уравнению (является его решением).

Частные производные  и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от

Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и так далее порядков.

Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Пример 8. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала найдем частные производные первого порядка:

Найдем искомые частные производные второго порядка:

Пример 9. Найти  если

Решение. Сначала найдем частную производную первого порядка данной функции по переменной

Найдем вторую частную производную по переменной

Наконец, найдем искомую частную производную третьего порядка:

Пример 10. Проверить, что  для функции

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

 

Найдем смешанные производные второго порядка:

 

Сравнивая полученные результаты, убеждаемся в том, что  

Полученный результат не случаен. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывные, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем:

  или  (3.1)

 

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика