Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Векторы. Основные понятия Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB , a (А – начало вектора, В – его конец). Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û .

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1)      , 2)      при и при .

Проекция вектора на ось Углом между двумя ненулевыми векторами и называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О

Пример . При каком условии ?

Координаты вектора Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , , – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора

Пример. Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Смешанное произведение векторов Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Прямая на плоскости Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой . Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой Пусть заданная точка на прямой , – угол наклона прямой к оси ,

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где ,

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты

Пример. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Пример. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты

Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты.

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на прямой, стремиться к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Если при  кривая  имеет бесконечный разрыв, то есть если при   или при  функция  стремиться к бесконечности (того или иного знака), то прямая  является ее вертикальной асимптотой, параллельной оси . Если функция не имеет точек разрыва второго рода, то график функции не имеет вертикальных асимптот.

Пример 9. Найти вертикальные асимптоты графика функции , если они существуют.

Решение. Найдем область определения функции:

, , .

.

Так как слева от точки функция стремиться к бесконечности, а справа – к минус бесконечности, то есть в точке  функция имеет разрыв второго рода, тогда прямая   - вертикальная асимптота.

,

.

Рассуждая аналогично, делаем вывод, что прямая  также является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Наклонные асимптоты графика функции , если они существуют, имеют уравнения вида , где параметры  и  определяются формулами:

 и

при одинаковом в общих формулах поведении , то есть в обеих формулах  или .

Если  или  не существуют или равны бесконечности, то график функции не имеет наклонной асимптоты.

В частности, если , то . Если -конечное число, тогда  - уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание 1. Асимптоты графика функции  при  и при  могут быть разными. Поэтому при нахождении   и  следует отдельно рассматривать случай, когда  и когда .

Замечание 2. Вертикальную асимптоту (если она существует)  график функции пересекать не может (т.к. в точке  функция имеет разрыв второго рода). Наклонные асимптоты график функции может пересекать.

Пример 10. Найти наклонные асимптоты графика функции , если они существуют.

Решение. В примере 9 была уже рассмотрена данная функция, и был сделан вывод, график функции имеет две вертикальные асимптоты .

Найдем наклонные асимптоты:

,

.

,

.

Таким образом, при ,  и , значит график данной функции имеет горизонтальную асимптоту  (прямая совпадает с осью ).

Пример 11. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось, функция всюду определена, поэтому вертикальных асимптот у графика функции нет. Найдем наклонные асимптоты:

,

.

Поэтому  наклонная асимптота.

;

.

Получим, что  - вторая наклонная асимптота.

Пример 12. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот графика функции нет. Найдем наклонные асимптоты:

.

Так как при  угловой коэффициент асимптоты не существует, поэтому график функции не имеет наклонной асимптоты.

.

Значит и при  график данной функции не имеет наклонной асимптоты.

 

Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции  и построение ее графика удобно выполнять по следующей схеме:

а) найти область определения функции. Точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках;

б) выяснить, является ли функция четной (в этом случае график функции симметричен относительно оси Оу), нечетной (график функции симметричен относительно начала координат), общего вида или периодический (через отрезок длинной, равной периоду, график функции повторяется);

в) найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых  или );

д) найти асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные или наклонные);

е,ж) найти интервалы монотонности (промежутки возрастания и убывания функции, для этого решить неравенства  и ) и экстремумы функции (найти точки max и min и соответствующие значения функции в этих точках). Для удобства составляем таблицу, как в примере 4;

з,и) найти интервалы выпуклости (интервалы, в которых ), вогнутости (интервалы, в которых ), точки перегиба графика функции. Для удобства составляем таблицу, как в примере 6.

На основании проведенного исследования построить график функции. Если результатов исследования окажется недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения. Построение графика функции целесообразно выполнять по его элементам, вслед за выполнением  отдельных пунктов исследования.

Пример 13. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. Проведем исследование функции по общей схеме:

а) областью определения данной функции является вся числовая ось, кроме точки .

Найдем односторонние пределы функции в окрестности точки :

,

.

В точке  функция имеет разрыв второго рода (бесконечный). Во всех других точках числовой оси функция непрерывна;

б) исследуем функцию на четность, нечетность:

, .

 , , поэтому данная функция не обладает свойством четности или нечетности, то есть является функцией общего вида. Функция непериодична;

в) найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при    не существует, поэтому с осью Оу график функции не пересекается; при  , значит график функции пересекает ось Ох в точке . Найдем интервалы знакопостоянства функции:  при  или

Вторая система неравенств не имеет решений, так как  при любых действительных значениях х, поэтому  при ;  при , ;

 

д) найдем асимптоты графика функции. В первом пункте исследования получили, что в точке  функция имеет бесконечный разрыв, поэтому прямая   является вертикальной асимптотой.

 Найдем наклонные асимптоты:

;

.

Прямая  - наклонная асимптота.

;

.

Так как при  и и  и совпали, поэтому прямая  - единственная наклонная асимптота;

е.ж) для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции найдем критические точки:

.  при , . При   не существует. Полученные значения  и  разбивают числовую ось на три промежутка.

Для наглядности исследования запишем в виде таблицы:

x

0

2

+

не сущ.

-

0

+

y

возр.

не сущ

убыв

min

возр.

,

,

.

Критическая точка  (она является внутренней точкой области определения данной функции) является точкой минимума, .

Точка  не является критической точкой, так как не принадлежит области определения функции. Но при  и при  .

Функция возрастает при  и , а при  - убывает;

з,и) найдем интервалы выпуклости , вогнутости и точки перегиба. Найдем :

.

Вторая производная в нуль не обращается ни при каких значений ; в точке    не существует. Так как   при , поэтому график функции на всей своей области определения вогнутый. Точек перегиба у графика нет.

Используя полученные результаты исследования, построим график данной функции:

 

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика