Кривые второго порядка Система координат примеры решений

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Кривые второго порядка Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = ±а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью.

Из симметрии гиперболы относительно осей координат следует, что этим же свойством обладает прямая Прямые и называются асимптотами гиперболы.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение содержит у лишь в четной степени, следовательно, кривая симметрична относительно оси ОХ. При х = 0 у = 0, то есть парабола проходит через начало координат.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид  

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Пример. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Пример 11. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению

Решение. Найдем частные производные первого порядка от данной функции:

Найдем частные производные второго порядка:

 

Полученные выражения подставим в данное уравнение:

Таким образом, функция  удовлетворяет данному уравнению.

Пусть функция определена в некоторой окрестности

Пример 12. Найти частные и полный дифференциалы функции

Решение. Найдем частные производные данной функции:

Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получаем частные дифференциалы функции:

 и

Согласно формуле (3.5) получаем полный дифференциал данной функции:

Пример 13. Найти полный дифференциал функции

Решение. Находим частные производные данной функции:

 

Частные дифференциалы функции найдем как произведения частных производных на дифференциалы соответствующих аргументов:

 и

Искомый полный дифференциал функции найдем как сумму её частных дифференциалов:

Пример 14. Найти дифференциал второго порядка функции

Решение. Используя свойства и правила нахождения дифференциала функции, преобразуем формулу дифференциала второго порядка:

Так как дифференциалы  и  остаются неизменными, поэтому при нахождении частных производных эти величины как постоянные множители выносим за знак производной.

Согласно формуле (3.1)

поэтому окончательно получаем формулу дифференциала второго порядка:

 (3.6) 

 

 Найдем частные производные первого, а затем и второго порядков данной функции:


Подставляя полученные результаты в формулу (3.6), получаем:

Пример 15. Найти дифференциал второго порядка функции

Решение. Воспользуемся формулой (3.6) дифференциала второго порядка, полученной в предыдущем примере. Для этого сначала найдем частные производные первого и второго порядков данной функции:

 

 

Тогда дифференциал второго порядка принимает следующий вид:

 

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика