Поверхности второго порядка Примеры решения задач

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Неполные уравнения плоскостей Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.

Прямая в пространстве Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости

Пример. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости

Пример. Показать, что прямая лежит в плоскости

Поверхности второго порядка

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой . Линия L при этом называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой , – ее образующей

Уравнение определяет гиперболический цилиндр. Его направляющая – гипербола, лежащая в плоскости Оуz, образующие параллельны оси Ох

Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, – ее образующей

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Это замкнутая овальная поверхность, симметричная каждой из координатных плоскостей

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Экстремум функции двух переменных

Пример 16. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка  и  и критические точки, в которых они равны нулю или не существуют и которые лежат внутри области определения функции:

Решим систему уравнений:

   

 

1)  2) 

Получили две точки  и  Обе точки являются стационарными, так как функция   определена на всей плоскости  Других критических точек нет, так как  и  существуют при любых значениях   и

Исследуем стационарные точки  и  используя достаточное условие экстремума. Найдем частные производные второго порядка функции  

Так как в точке   следовательно в этой точке экстремума нет.

В точке   следовательно в этой точке экстремум есть,   поэтому точка минимума.

Пример 17. Найти экстремум функции

Решение. Найдем критические точки, то есть точки, в которых частные производные первого порядка данной функции равны нулю или хотя бы одна из них не существует.

Решим систему уравнений:

  

 

Получили единственную критическую точку  которая является стационарной, так как функция  определена на всей плоскости   и  существуют при любых значениях  и  поэтому других критических точек нет.

Проверим, является ли точка  точкой экстремума. Для этого найдем частные производные второго порядка и определим знак  в точке

Оказалось, что  не имеет знака.

Чтобы установить, имеет функция  в точке  экстремум, необходимы дополнительные исследования (мы их проводить не будем).

 

Наибольшее и наименьшее значения функции

  двух переменных

 

Понятия наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных определяются так же, как и для функции одной переменной.

Пусть функция  определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области  Тогда она достигает в некоторых точках   своего наибольшего и наименьшего значений (так называемый глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области  или в точках, лежащих на границе области.

Наибольшее или наименьшее из всех значений функции нельзя смешивать с максимумом или минимумом функции, которые являются наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с её значениями в соседних точках.

Если функция разрывна или непрерывна в незамкнутой области, то она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции  в ограниченной замкнутой области  где она непрерывна, можно руководствоваться следующим правилом:

1)найти критические точки, лежащие внутри области  и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида);

2)найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области

3)сравнить полученные значения функции: самое большее (меньшее) из них и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области  

 Пример 18. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в круге

 Решение. Изобразим заданную область

Согласно указанному правилу:

1)найдем критические точки функции лежащие внутри круга радиуса, равном 2, и центром в начале координат:

Решая систему уравнений,

найдем критическую точку которая лежит внутри круга. Других критических точек нет. Найдем значение функции в этой точке

2)найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе заданной области - на окружности  Уравнение окружности связывает между собой переменные  Определяя из этого уравнения одну переменную через другую, например и подставляя в выражение функции преобразуем её в функцию одной переменной:

где изменяется на отрезке  (это следует из условия, что под корнем квадратным выражение неотрицательно, то есть

Далее ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке которые и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции на границе заданной области – на окружности.   Эта единственная критическая точка лежит внутри данного отрезка. Значение в этой точке

Вычислим значения функции на концах данного отрезка:

Сравнивая вычисленные значения во внутренней критической точке и на концах отрезка заключаем: наибольшее значение функции на отрезке  (или, что то же, функция на границе данной области – на окружности равно 12, а наименьшее значение на данном отрезке (или, что то же, на данной границе) равно 4;

3)сравнивая значение во внутренней критической точке с её наибольшим и наименьшим значениями на окружности, делаем вывод: наибольшее значение функции в данной замкнутой области – круге равно 12 и достигается ею в граничных точках а её наименьшее значение в этой области равно 4 и достигается в граничных точках  Ординаты точек  которые лежат на окружности, вычислены из уравнения окружности по известным их абциссам

Таким образом, 

Пример 19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Решение. Построим замкнутую область, ограниченную линиями

Руководствуясь указанным правилом:

ищем критические точки функции лежащие внутри заданной области

решая систему уравнений   найдем критические точки

     или 

Получили две критические точки  и из которых ни одна не лежит внутри заданной области. Других критических точек функция не имеет;

ищем наибольшее и наименьшее значения функции на границе заданной области. Она состоит из двух участков имеющих различные уравнения. Поэтому вначале найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом из этих участков, затем, сопоставляя их, найдем наибольшее и наименьшее значения на всей границе.

На участке тогда

где изменяется на отрезке Отрезок найден как решение системы уравнений то есть

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке если действительных корней нет. Получили одну критическую точку которая является внутренней точкой указанного отрезка. Найдем значения функции на концах отрезка

Сравнивая значения функции во внутренней критической точке и на концах отрезка делаем вывод: наибольшее значение на отрезке равно 32 (в точках ), а наименьшее значение на этом отрезке равно 0 (в точке ).

На участке имеем где

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на этом участке. Решим уравнение 

Внутри данного отрезка при

Значения функции на концах отрезка были вычислены ранее

Наибольшее значение функции на отрезке равно 32 (в точках а наименьшее значение на этом отрезке равно (в точке ).

Сравнивая значения на участках приходим к выводу: на всей границе наибольшее значение функции равно 32 (в точках а её наименьшее значение равно нулю (в точке

внутри заданной замкнутой области функция не имеет точек экстремума, её наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках, лежащих на границе этой области. В граничных точках функция имеет наибольшее значение а в граничной точке она имеет наименьшее значение

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика