Механика
Сопромат
Физика
Информатика
Задачи
ТОЭ
Ядерная физика
История искусства
Тех мех
Математика
Типовой
Технологии
Задачи
Лабораторные
Начертательная
Карта

Основные правила дифференцирования

Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).


Доказательство

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Доказательство

Так как u = u(x + x) – u(x), то u(x + x) = u(x) + u.


Аналогично, v(x + x) = v(x) + v.


Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

(Cf(x))' = C(x).

Доказательство. Пусть C – постоянное число, тогда (C)' = 0. По теореме 2:

(Cf(x))' = (C)'f(x) + C(x) = 0f(x) + C(x) = C(x).

В частности, (u(x) – v(x))' = (u(x) + (–1)v(x))' = u'(x) + (–1)v'(x) = u'(x) – v'(x),
т.е. (u(x) – v(x))' = u'(x) – v'(x) (производная разности двух функций равна разности их производных).

Теорема 3. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x и v(x)  0, то их частное дифференцируемо в этой точке, причем


Доказательство


Заметим, что, так как v(x) дифференцируема в точке x, а, следовательно, непрерывна в точке x, то . Тогда:

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций tgx и ctgx:


Итак, получили формулу: .

Производная для ctgx находится аналогично (сделайте это):

Пусть y = f((x)) является сложной функцией, составленной из функции 
y = f (u), u = (x), где u – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции y = f (u) (ее будем обозначать через ) и производную  для функции u = (x).

Теорема 4. Если функция u = (x) имеет производную  в точке x, а функция
y = f (u) имеет производную  в точке u (u = (x)), то сложная функция y = f((x)) в точке x имеет производную , причем  = .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.


Доказательство. Функция u = (x) дифференцируема в точке x, поэтому непрерывна в этой точке, т.е.  (будем предполагать, что u 0), тогда


С помощью теоремы 4 найдем производную степенной функции y = x, где
 – постоянное число. По свойствам логарифмов x = (elnx) = elnx, поэтому x = elnx является сложной функцией от x: y = eu, u = lnx. По теореме 4:

Итак, получена формула: (x)' = x – 1.

Очевидно, производные функций (найденные в разд. 2.2), могут быть вычислены по полученной формуле. В самом деле, например, для функции  имеем:

Введем правило для нахождения производной обратной функции.

Теорема 5. Пусть функция y = f(x) определена на промежутке X, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на X. Если ее производная  в точке x не равна 0, то обратная функция x = (y) имеет производную  в точке y
(y = f(x)), причем

Доказательство. Функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на промежутке X, тогда по теореме 4 (разд. 1.13) она имеет обратную функцию x = (y), определенную, непрерывную и монотонную на промежутке Y.

Если значение аргумента y получает приращение y, отличное от нуля, то в силу монотонности функции x = (y) функция x получает приращение x и x  0. В силу непрерывности функции x = (y): .

Следовательно,

Итак,  Теорема доказана.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел - натуральное множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла