Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Основные правила дифференцирования

Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).


Доказательство

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Доказательство

Так как u = u(x + x) – u(x), то u(x + x) = u(x) + u.


Аналогично, v(x + x) = v(x) + v.


Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

(Cf(x))' = C(x).

Доказательство. Пусть C – постоянное число, тогда (C)' = 0. По теореме 2:

(Cf(x))' = (C)'f(x) + C(x) = 0f(x) + C(x) = C(x).

В частности, (u(x) – v(x))' = (u(x) + (–1)v(x))' = u'(x) + (–1)v'(x) = u'(x) – v'(x),
т.е. (u(x) – v(x))' = u'(x) – v'(x) (производная разности двух функций равна разности их производных).

Теорема 3. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x и v(x)  0, то их частное дифференцируемо в этой точке, причем


Доказательство


Заметим, что, так как v(x) дифференцируема в точке x, а, следовательно, непрерывна в точке x, то . Тогда:

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций tgx и ctgx:


Итак, получили формулу: .

Производная для ctgx находится аналогично (сделайте это):

Пусть y = f((x)) является сложной функцией, составленной из функции 
y = f (u), u = (x), где u – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции y = f (u) (ее будем обозначать через ) и производную  для функции u = (x).

Теорема 4. Если функция u = (x) имеет производную  в точке x, а функция
y = f (u) имеет производную  в точке u (u = (x)), то сложная функция y = f((x)) в точке x имеет производную , причем  = .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.


Доказательство. Функция u = (x) дифференцируема в точке x, поэтому непрерывна в этой точке, т.е.  (будем предполагать, что u 0), тогда


С помощью теоремы 4 найдем производную степенной функции y = x, где
 – постоянное число. По свойствам логарифмов x = (elnx) = elnx, поэтому x = elnx является сложной функцией от x: y = eu, u = lnx. По теореме 4:

Итак, получена формула: (x)' = x – 1.

Очевидно, производные функций (найденные в разд. 2.2), могут быть вычислены по полученной формуле. В самом деле, например, для функции  имеем:

Введем правило для нахождения производной обратной функции.

Теорема 5. Пусть функция y = f(x) определена на промежутке X, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на X. Если ее производная  в точке x не равна 0, то обратная функция x = (y) имеет производную  в точке y
(y = f(x)), причем

Доказательство. Функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на промежутке X, тогда по теореме 4 (разд. 1.13) она имеет обратную функцию x = (y), определенную, непрерывную и монотонную на промежутке Y.

Если значение аргумента y получает приращение y, отличное от нуля, то в силу монотонности функции x = (y) функция x получает приращение x и x  0. В силу непрерывности функции x = (y): .

Следовательно,

Итак,  Теорема доказана.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел - натуральное множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла