Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Дифференциал функции

Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению:
= (x0), поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) = f(x0) + , где  – бесконечно малая при x  0. Отсюда

y = (x0)x + x. (2.7)

При x  0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с x:  =  = 0, поэтому y и (x0)x – эквивалентные, бесконечно малые (при (x0)  0).

Таким образом, приращение функции y состоит из двух слагаемых, из которых первое (x0)x является главной частью приращения y, линейной относительно x (при (x0)  0). Элементы линейной алгебры Матрицы и определители. Основные понятия

Дифференциалом функции f(x) в точке x0 называется главная часть приращения функции и обозначается:  dy или df (x0). Следовательно,

df (x0) = (x0)x. (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции y для функции y = x2 при:

1) произвольных x и x; 2) x0 = 20, x = 0,1.

Решение

1) y = (x + x)2 – x2 = x2 + 2xx + (x)2 – x2 = 2xx + (x)2, dy = 2xx.

2) Если x0 = 20, x = 0,1, то y = 400,1 + (0,1)2 = 4,01; dy = 400,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

y = dy + x. (2.9)

Приращение y отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с x, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством y  dy, если x достаточно мало.

Учитывая, что y = f(x0 + x) – f(x0), получаем приближенную формулу:

f(x0 + x)  f(x0) + dy. (2.10)

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим: f(x) = ; x0 = 4, x = 0,1; тогда   = f(x0 + x). Используя формулу (2.10), получим: 

 = f(x0 + x)  f(x0) + dy, f(x0) = =2,  dy = f'(x0)x = 0,1 =  = 0,025.

Значит,   2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x0) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M0(x0, f(x0)), пусть  – угол между касательной KM0 и осью Ox, тогда f'(x0) = tg. Из M0NP:
PN = tgx = f'(x0)x = df(x0). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x0 до x0 + x.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции
y = x. Так как (x)' = 1, то dx = 1x = x. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = x.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = (x)dx, откуда (x) =   или (x) = .

Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

d(u + v) = du + dv; (2.11)

d(uv) = udv + vdu; (2.12)

d = , (v  0). (2.13)

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(uv) = (uv)'x = (uv' + u'v)x = uv'x + u'xv = udv + vdu.

Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f(x), x = (t), т.е. y = f((t)).

Тогда dy = dt, но  = , поэтому dy = dt. Учитывая,
что   = dx, получаем dy = dx = (x)dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x = (t), имеет вид dy = (x)dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел - натуральное множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла