Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или (x).

Итак, (x) = ((x))'.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной
(n – 1)-го порядка и обозначается: y(n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n-1)(x))'.

Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение.  =  =, (x) = –, (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e3x.

Решение. y' = 3e3x, y'' = 33e3x = 32e3x, y''' = 33e3x.

По аналогии находим: y(n) = 3ne3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой
S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + t скорость получит приращение

V = V(t + t) – V(t).

Отношение называется средним ускорением за время t. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда t  0:

a = , т.е. a = V'(t) = (S(t))' = S''(t).

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S''(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f(x), xX. Дифференциал этой функции y = f'(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f(x).

Итак, d2y = d(dy), но dy= dx, поэтому

d2y = d(dx) = (dx)dx = (dx)2.

Будем вместо (dx)2 писать dx2.

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d3y или d3f(x):

d3y = d(d2y) = d(dx2) = dx3 и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n – 1)-го порядка dny = d(dn – 1y) = d(f (n – 1)(x)dxn – 1) = f (n)(x)dxn.

Итак, dny = f (n)(x)dxn. Отсюда f (n)(x) =  .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо  будем писать: , вместо   пишем: .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.

Решение. d3y = y'''dx3. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':

y' = (cos2x)' = –2cosxsinx = –sin2x,  y'' = (–sin2x)' = –2cos2x, y''' = 4sin2x.

Следовательно, d3y = 4sin2xdx3.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями

 , tT

(T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что =  =  (разд.2.6), поэтому

=  = = = .

Аналогично будут вычисляться и т.д.

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

 , 0 t  .

Найти .

Решение. =  = = = –tgt;

= = = -= .

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти ,  для функции, заданной неявно уравнением:
ey + xy = e. Вычислить y'(0), y''(0).

Решение. Найдем сначала y', как описано в в разд. 2.5:

(ey + xy)' = (e)', eyy' + y + xy' = 0, y'(ey + x) = –y, y' = –.

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство eyy' + y + xy' = 0, получим:

ey(y')2 + eyy'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y':  y''(ey + x) = –ey(y')2 – 2y',

y'' = –= =  =

= .

Итак, y' = –, y'' = . Подставим x = 0 в исходное уравнение ey + xy = e, получим: ey + 0y = e, откуда y = 1, значит,

y(0) = 1; y'(0) = –; y''(0) =  = .

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) О смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла