Сборочный чертеж http://ficlas.ru/
Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Исследование функций и построение их графиков

При полном исследовании функции  и построении ее графика можно придерживаться следующей схемы:

указать область определения функции;

исследовать функцию на симметричность;

найти точки пересечения графика функции с осями координат;

найти точки разрыва функции;

определить уравнения асимптот графика функции;

найти критические точки первого рода;

исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

найти критические точки второго рода;

определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

произвести необходимые дополнительные вычисления;

построить график функции.

Дадим пояснения к каждому пункту приведенной схемы.

1) Если каждому элементу  по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что задана функция , где  называется независимой переменной или аргументом.

Множество  называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек  действительной оси, для которых правило  имеет смысл и определяет действительные значения переменной .

2) Если для любого  из области определения  выполняется равенство , то функция является четной, если же выполняется равенство , то функция является нечетной. В том случае, когда  и  - функция не является ни четной, ни нечетной.

Четные и нечетные функции называются симметричными, так как график четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график симметричной функции достаточно построить лишь для , а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.

3) Точки пересечения графика функции  с осью  определяются из условия , т.е. ; точка пересечения с осью  определяется из условия , значит, .

4) Функция  называется непрерывной при  (в точке ), если:

а) функция  определена в точке  и ее окрестности;

б) существует конечный предел функции  в точке ;

в) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции. Если в точке разрыва  существуют конечные пределы  и , то  называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов  или  не существует или равен бесконечности, то точку  называют точкой разрыва второго рода.

5) Прямая  l называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки  кривой до прямой l при удалении точки  от начала координат на бесконечность стремится к нулю. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если

, или .

Таким образом, вертикальные асимптоты появляются в том случае, когда существуют точки разрыва второго рода  (точки бесконечного разрыва функции), и в некоторых случаях, если  – граница интервала области определения функции .

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

или

.

В частности, при  получаем  или .

Полученная прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции .

6) Функция  называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при  выполняется неравенство

 .

Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности функции. Интервалы возрастания и убывания функции отделяются друг от друга точками экстремума или точками, выпадающими из области определения .

Необходимое условие существования экстремума функции: если функция  в точке  имеет экстремум, то производная  обращается в нуль или не существует. Точки, в которых (стационарные точки) или  не существует, называются критическими точками первого рода.

7) Для нахождения интервалов монотонности функции  необходимо воспользоваться тем фактом, что если для любого  из интервала  , то функция возрастает на этом интервале , если , то функция убывает на этом интервале.

Точки экстремума следует искать среди критических точек первого рода. И, так как не во всякой критической точке достигается экстремум функции, то для его нахождения каждую критическую точку (в отдельности) следует исследовать с помощью одного из двух достаточных признаков существования экстремума.

Первый достаточный признак существования экстремума. Пусть  – критическая точка первого рода.

Если при произвольном, достаточно малом  выполняются неравенства: ,  (при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус), то функция  в точке  имеет максимум.

Если ,  (при переходе через точку  производная меняет знак с минуса на плюс), то функция  в точке  имеет минимум; если ,  или ,  (производная знака не меняет), то функция в точке  экстремума не имеет.

Второй достаточный признак существования экстремума. Если  – критическая точка первого рода и , то функция в точке  имеет экстремум, а именно: максимум, если , и минимум, если .

8) Необходимое условие существования точки перегиба: если  – точка перегиба графика функции , то вторая производная  или  не существует.

Точки, в которых  или  не существует, называются критическими точками второго рода.

9) График функции  называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала. График функции   называется вогнутым на интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. Точка кривой , отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Не всякая критическая точка второго рода является точкой перегиба графика функции. Поэтому каждую критическую точку необходимо исследовать при помощи достаточного признака существования точки перегиба: если  - критическая точка второго рода и при произвольном достаточно малом  выполняются неравенства

 или 

(при переходе через критическую точку  вторая производная меняет знак), то  является точкой перегиба графика функции.

Если  на интервале , то график функции  является выпуклым на этом интервале, если же , то на этом интервале график функции вогнутый.

10) Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.

Результаты, полученные во всех предыдущих пунктах для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

а) в первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;

б) во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах, в третьей строке - знаки второй производной;

в) в четвертой строке схематически указывается характер поведения функции. Например, если  и , то функция возрастает, а график является вогнутым. По этой таблице совсем нетрудно построить график функции, для этого нужно последнюю строку перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость - основные образы; лежать между, принадлежать, движение - основные отношения. Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома - аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла