Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Производная и дифференциал функции двух переменных.

Исследование функции двух переменных.

Образец решения типового расчёта № 5.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: . Уравнение  задаёт на координатной плоскости   параболу , вершина которой находится в точке , ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. .

Решение.  .

 2.2. .

Решение. .

 2.3. .

Решение. .

Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .

Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:

.

Теперь находим производные второго порядка по переменным  и :

.

Находим смешанные производные:

.

Задание 4. Найти производную функции  в точке  по направлению вектора .

Решение. Производная функции  по направлению вектора равна:

, где  направляющие косинусы вектора .

Находим частные производные данной функции:

.

Находим значения частных производных в точке :

.

Находим направляющие косинусы вектора :

.

Окончательно получим:

.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость - основные образы; лежать между, принадлежать, движение - основные отношения. Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома - аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла