Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Задачи приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, вычисление интеграла по определению. Необходимый признак интегрируемости (без док.)

1) Задача о нахождении площади криволинейной трапеции.

Определение: криволинейная трапеция – плоская фигура ограниченная линиями  , , , .-положительная и непрерывная на отрезке [a,b].

Разобьем промежуток [a;b] произвольно на n частей с длинами

Получим n-криволинейную трапецию, основание , ,.

  построим прямоугольник с основанием  и высотой  .

, где (меняется от 1 до n)

(получим приближенное значение S криволинейной трапеции)

(Интегральная сумма)

2) Задача о вычислении длины пути по заданной скорости.

Пусть точка движется прямолинейно вдоль числовой оси ,

Смещение (.)-и за малые промежутки времени.

Смещение

,

1. Разобьем промежуток [a;b] произвольно на n частей с длинами

2. В каждом промежутке выберем точку (ξ) и вычислим значение функции   в каждой из этих точек, получим значения (ξ)

3. Эти значения умножим на длины соответствующих промежутков , а полученные произведения сложим, получится сумма ∑:

которая называется интегральной суммой функции на данном промежутке

Определенным интегралом от функции у=на  называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (nàoo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (хi à0)

если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки  

, где  - подынтегральная функция.

-подынтегральное выражение.

а- нижний предел интегрирования.

в- верхний предел интегрирования.

d- длина наибольшего из отрезков разбиения.

условие интегрируемости функций.

Необходимый признак интегрируемости функции. Если функция f(х) интегрируема на [a,b], то она ограничена на [a,b]. Следствие (достаточное условие интегрируемости):Если функция ограничена и непрерывна на [a,b], всюду кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке [a,b]. 

Основные понятия: точка, прямая, плоскость - основные образы; лежать между, принадлежать, движение - основные отношения. Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома - аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла