Физика атома. Электрон в атоме водорода. http://e3-bmstu.ru/
Типовой расчет по высшей математики Образец выполнения типового расчёта Ряды с неотрицательными членами Знакопеременные ряды Функциональные ряды Свойства степенных рядов

Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами (теор. док.)

Ряды с неотрицательными членами: Ряд  все члены которого неотрицательны  называется знакоположительным.

Критерий сходимости: 

Н: Для того, чтобы знакоположительный ряд   сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы ограничены сверху (т.е.  

Доказательство: П. знакоположительный ряд  сходится. Это значит .

{Sn}- последовательность ч.с. – возрастающая. Тогда Sn<S, т.е. {Sn} – огранич., S=M.

Д: Члены последовательности ч.п.   огранич. сверху. Кроме того  – возрастающая, монотонно. Поэтому, по теореме Вейерштрасса (всякая монотонная возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел): – сходится.

51)Первый признак сравнения (теор. док.)

Если начиная с некоторого номера N (для ) выполняется неравенство , то из сходимости ряда B => сходимость ряда A; из расходимости ряда A => расходимость ряда B.

Доказательство:

Не умаляя общности положим , с n=1. Если ряд B сходится => числовые суммы ограничены (по критерию сх-ти знакопол. рядов), значит ч.с. ряда A и подавно ограничены (т.к. ) => ряд A – сходится. Ряд A расходится, тогда (по критерию сх-ти знакопол. рядов) ч.с. неогранич. => ч.с. ряда B тем более неогранич. => ряд B – расходится.

Предельный признак сравнения (теорему док.)

 Пусть имеется два знакоположительных ряда 1)2)  .

 Если существует конечный предел , то

если ряд (1) сходится,,то ряд (2) сходится

если ряд (1) расходится, ,то (2) расходится.

В частности получаем, если , то (1) и (2) либо вместе сходятся, либо расходятся.

Доказательство:

1) По условию теоремы  

Рассматривая модуль, получим ;  

 2) k>0 , выбираем значения ,если (1) расходится, то , где , -расходится (по признаку сравнения).

Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои идеи, которые излагал в трудах "Начала геометрии", "Воображаемая геометрия" и других. За год до смерти он опубликовал свою работу "Пангеометрия" (1855г.).
Свойства степенных рядов