Типовой расчет по высшей математики Образец выполнения типового расчёта Ряды с неотрицательными членами Знакопеременные ряды Функциональные ряды Свойства степенных рядов

Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

Свойства степенных рядов:

1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.

2)Степенные ряды  и  имеют один и тот же радиус сходимости.

3)Степенные ряды можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для S(x).

4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости.

Понятие о ряде Тейлора:

Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.

Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:

Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням () и соответственно ,или представление функции в окрестности точек  или степенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках = и = 0 соответственно.Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.

Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора:

Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале < r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора,если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю.

Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа

где С некоторая произвольная точка рассматриваемого интервала.

Условие выполняется,если производные всех порядков функции ограничены некоторым числом

Если записать ряд Тейлора вместе с остаточным членом,то получим формулу Тейлора:

Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое время, но все развитие науки подготовило их неизбежное торжество. Через пятнадцать лет после его смерти его открытие стало общеизвестным и определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из предпосылок глубокого преобразования физических представлений о пространстве и времени.
Свойства степенных рядов