Курс высшей математики Основные теоремы о пределах Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Решение типовых задач

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  a.

Доказательство. Пусть f (x) = b. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – b и покажем, что (x) – б.м. при x  + .

Из определения f (x) = b имеем, что  > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < , но так как (x) = f(x) – b, то  > 0 x0 x > x0 | (x)| <  , а это означает, что (x) – б.м. при
x  +.

Итак, из равенства (x) = f(x) – b имеем f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  +.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + (x), где
b – число, (x) – б.м. функция при x  a, то f(x) = b.

Доказательство. Пусть f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  +, т.е.

 > 0 x0 x > x0 |(x)| < . (*)

Но (x) = f (x) – b, поэтому (*) можно записать так:  > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < , что означает: f (x) = b.

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

f1(x) = b1, f2(x) = b2, то (f1(x) + f2(x)) = b1 + b2, (f1(x) – f2(x) ) = b1 – b2.

Доказательство. На основании теоремы 1: f1(x) = b1 + 1(x), f2(x) = b2 + 2(x), где 1(x), 2(x) – б.м. при x a, тогда

f1(x) + f2(x) = (b1 + 1(x)) + (b2 + 2(x)) = (b1 + b2) + (1(x) + 2(x)).

Но 1(x) + 2(x) – б.м. функция при x a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (1(x) + 2(x)) по теореме 2 следует, что


(f1(x) + f2(x)) = b1 + b2.

Аналогично проводится доказательство для разности.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f1(x) = b1, f2(x) = b2, то (f1(x)f2(x)) = b1b2.

Доказательство. По теореме 1: f1(x) = b1 + 1(x), f2(x) = b2 + 2(x), где 1(x), 2(x) – б.м. при x a, тогда f1(x)f2(x) = b1b2 + b12(x) + b21(x) + 1(x)2(x).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b12(x), b21(x), 1(x)2(x) – б.м. при x a и (x) = b12(x) + b21(x) + 1(x)2(x) – бесконечно малая функция при x a. Из равенства f1(x)f2(x) = b1b2 + (x) по теореме 2 следует, что
(f1(x)f2(x)) = b1b2.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(Сf(x)) = Сf(x), где С – постоянное число.

Доказательство. Сf(x) = Сf(x) = Сf(x), так как С = С.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то [(f(x))n] = (f(x))n.

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f1(x) = b1,
f2(x) = b2 и b2 0, то .

Доказательство. По теореме 1: f1(x) = b1 + 1(x), f2(x) = b2 + 2(x), где 1(x),  2(x) – б.м. при x a, тогда

Обозначим последнюю дробь (x) = , тогда  + (x). Остается показать, что (x) – б.м. при x a. Действительно, числитель дроби
b21(x) – b12(x) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
(b22 + b22(x)) = b22 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому  – функция,ограниченная при x a (по теореме 3 разд. 1.6). Значит, (x) – б.м. при x a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.


Пример. Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6. Если f(x) существует и f(x) 0 для всех x из области определения функции, то f(x) 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f(x) = b< 0. Зафиксируем = –,  > 0. По определению предела по  найдется x0, такое, что x > x0 |f(x) – b| < , отсюда b – < f (x) < b + . Но = –, поэтому x > x0 f(x) < b –,  f(x) < , т.е. f(x) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана.

Теорема 7. Если x (f1(x) f2(x)) и f1(x),  f2(x) существуют, то
f1(x)  f2(x).

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x) = f1(x) – f2(x), тогда x (F (x) 0)  иF(x) существует. По теореме 6: F(x) 0, (f1(x) – f2(x)) 0, отсюда
f1(x) f2(x). Теорема доказана.

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если x (f1(x) (x) f2(x)) и
f1(x) = f2(x) = b, то (x)  существует и равен b.

Доказательство

Пусть f1(x) = f2(x) = b (рис. 1.11).

Покажем, что (x) = b. Зафиксируем > 0, тогда найдется такое 1 > 0, что

x(x0, x0 + 1) |f1(x) – b| < ,

и найдется такое 2 > 0, что

x(x0, x0 + 2) |f2 (x) – b| < .

Обозначим через  меньшее из 1, 2, тогда для x(x0, x0 + ) эти неравенства будут выполняться одновременно. Преобразуем их, используя определение модуля:

x(x0, x0 + ) (b – < f1(x) < b + ,

x(x0, x0 + ) (b – < f2(x) < b + .

И учтем данное неравенство:

f1(x) (x) f2(x).

Тогда из этих неравенств получим: b – < f1(x) (x) f2(x) < b + , откуда
b – < (x) < b +  или x(x0, x0 + ) (|(x) – b| < ), по определению это означает, что (x) = b, что и требовалось доказать.

Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической геометрии проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах. Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и Пьера Ферма (1601-1665).
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла