Лекции по сопромату, теория, практика, задачи Моменты инерции сложных фигур Деформации и перемещения при кручении валов Определение опорных реакций Понятие об устойчивости

Понятие об устойчивости

Известно, что равновесие АТТ может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Пример: равновесие шарика на гладкой вогнутой, выпуклой поверхности и на плоскости. Аналогичные явления наблюдаются и для деформируемых тонкостенных конструкций. Пример с сжатой линейкой: если сила меньше некоторого критического значения, линейка устойчива,  неустойчива,  безразличное равновесие.

Критическая сила – это максимальная сжимаемая сила, до которой стержень сохраняет прямолинейную форму равновесия или минимальная сжимающая сила, при которой возможна искривленная форма равновесия.

Объяснить почему нельзя эксплуатировать стержень при  Следовательно практическую силу следует считать предельной нагрузкой.

На практике могут быть искривления оси стержня, эксцентриситеты нагружения, нежесткость связей и т.п., которые имеют случайный характер и трудно поддаются учету. Названные факторы сильно влияют на величину критической силы, определяемую для «идеальной» схемы. Поэтому конструкцию надо считать на допускаемую нагрузку

  (1)

где  нормативный коэффициент запаса по устойчивости. Объяснить физический смысл .

11.2 Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим шарнирно-опертый стержень в изогнутом положении (рисунок 1,а). Изгиб произойдет относительно оси с минимальным моментом инерции .

Рисунок 1. Различные закрепления концов стержня

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

  или 

где .

Решение этого уравнения  должно удовлетворять условиям закрепления стержня:

Отсюда находим  или  где  целое число. Нас интересует минимальное значение критической силы, поэтому

  (2)

Эта формула называется формулой Эйлера.

При других способах закрепления концов стержня критическая сила находится аналогично. При любых способах закрепления стержня критическую силу можно найти по обобщенной формуле Эйлера:

  , (3)

где  коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня (рисунок 1). Для других способов закрепления   можно взять из справочников.

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера основана на соотношениях, вытекающих из закона Гука. Следовательно, она  справедлива при напряжениях меньших предела пропор-

циональности . Введем обозначения:

   (4)

где  площадь сечения,  минимальный радиус инерции сечения. Безразмерная величина  зависит от размеров стержня и способа его закрепления и называется гибкостью стержня.

Пределы применимости формулы Эйлера теперь находятся из условия:

Обозначим

 (5)

где  предельная гибкость зависит только от свойств материала.

Теперь условие применимости формулы Эйлера примет вид

  (6)

1. Сопротивление материалов. Учебное пособие / Н.А. Костенко, С.В. Балясникова, Ю.Э. Волошановская и др.; под. ред. Н.А. Кос-тенко. - М.: Высш. шк., 2000. - 430 с. 2. Пирогов А. Н., Грачев В. Н., Гутиков В.П. Лабораторный практи-кум по курсу сопротивление материалов. Учебное пособие. - Ке-мерово: КузПИ, 1988. - 94 с. 3. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984.- 624 с. 4. Кондрашов А. П., Шестопалов Е. В. Основы физического экспе-римента и математическая обработка результатов измерений. - М.: Атомиздат, 1977. - 200 с. 5. Зажигаев Л. С., Кишьян А. А., Романиков Ю. И. Методы плани-рования и обработки результатов физического эксперимента. - М.: Атомиздат, 1978. - 232 с.
Внутренние силы. Метод сечения