Математика - множества, функции, пределы, производная

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Лабораторные работы по электронике
Лекции по сопромату, теория, практика,
задачи
Деформации и перемещения при
кручении валов
Определение опорных реакций
Внутренние силы. Метод сечения
Курс высшей математики
Дифференциальное исчесление
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы
высших порядков
Решение типовых задач
Типовой расчет по высшей математике
Образец выполнения типового расчёта
Интегрирование
Производная и дифференциал
функции двух переменных
Задачи приводящие к понятию
определенного интеграла
Курс лекций по физике
Анализ колебаний в нелинейных цепях
Линейные параметрические цепи
Начертательная геометрия
Компьютерные информационные технологии
Корпоративные информационные системы
Корпоративные сети
Администрирование компьютерных сетей.
Средства управления безопасностью сетей
Курс лекций по истории искусства
Культура ранних цивилизаций
Культура Древнего Египта
Культура Древней Индии
Корпоративные информационные системы
Основная идея технологии "клиент-сервер"
Сетевое обеспечение корпоративных
информационных систем
Корпоративные базы данных
Энергосберегающие технологии
Системы теплоснабжения
Развитие нетрадиционной энергетики
Ветроэнергетика в России
Солнечная энергетика в России
Гелиоэнергетика.
Геотермальная энергия
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Использование водной энергии земли
Лекции по электротехнике
Линейные цепи постоянного тока
Источник ЭДС и источник тока
Электрические цепи с взаимной
индуктивностью
Магнитное поле и магнитные цепи
Электрические машины переменного тока
Энергетический баланс асинхронного
двигателя
Однофазный асинхронный двигатель
Лекции по электронике
Биполярные транзисторы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Трехфазные выпрямители
Цифровой измерительный прибор
Измерение тока и напряжения
Гальванические преобразователи
 

Элементы теории множеств.

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Операции над множествами.

 В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.

 Опр.1.2.1. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Мощность множества.

 Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простого правила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q¹0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q1 всех целых чисел n=0,±1,±2,±3,….;

множество Q2 всех дробей вида n/2, множество Q3 всех дробей вида n/3,…………….,

множество Qк всех дробей вида n/к, n=0,±1,±2,±3,…..; следовательно, оно счётно.

 Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

 4. Если А={an|nÎZ} и В={bn|nÎZ} - счётные множества, то множество всех пар {(an,bк)|n,кÎZ} - счётно.

Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Кванторы.

 В этом разделе мы расширим понятие термина "высказывание", чтобы ввести в рассмотрение утверждения вида х>7. Строго говоря, это утверждение не является высказыванием в смысле опр.2.1.1, так как мы не можем сказать, истинно оно или ложно (оно истинно, если, например, xÎ[12,15] и ложно, если xÎ[ 2, 5]). Тем не менее, утверждения, содержащие переменные x, y, z,… с областями возможных значений X, Y, Z,…, обладающие тем свойством, что для каждого набора переменных xÎ X, yÎ Y, zÎ Z,…истинность утверждения может быть установлена, в дальнейшем тоже будем называть высказываниями. Зависимость высказываний А, В, … от переменной x будем обозначать как А(х), В(х),… xÎ X. Подмножество Х(А)ÍХ множества Х такое, что для любого хÎХ(А) высказывание А(х) истинно, будем называть областью истинности высказывания А (так, для высказывания х>-2, X=[-5, 5] будет Х(А) = (-2, 5]).

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

2.3.1. Теоремы прямая, обратная, противоположная.

  Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:

Достаточность и необходимость; существование и единственность.

 Переведём формулировку теоремы "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка).

Действительные числа.

3.1. Аксиомы действительных чисел.

 Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности (), удовлетворяющие аксиомам

 I.1. x+y=y+x;

Некоторые множества на числовой оси.

 Определения.

 3.2.1. Для любой пары элементов aÎR, bÎR такой, что a<b, множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а<х<b, называется открытым промежутком, или интервалом с началом а и концом b и обозначается (a,b) (или ] a ,b[).

  3.2.2. Множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а£х£b, называется замкнутым промежутком, или отрезком и обозначается [a,b]

Определения.

3.4.1. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

3.4.2. Если существует число mÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х>m, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

Предел функции одной переменной.

4.1. Определение функции. Терминология.

 Пусть Х, Y - некоторые множества.

Опр.4.1.1. Функцией называется любое правило (закон), которое каждому элементу хÎХ ставит в соответствие определённый элемент уÎ Y.

 Обозначение функциональной зависимости: y = f(x) или f : X®Y. Множество Х называется областью определения функции, множество Yf = f(X) = {y| y = f(x), xÎX}ÍY - областью значений функции. (Смысл записи f : X®Y состоит в том, что функция y = f(x) отображает множество Х в множество Y. Если образ множества X при отображении f : X®Y полностью "накрывает" множество Y, т.е. Yf = Y, то отображение f : X®Y называется отображением Х на Y. Так, функция y = x2 отображает отрезок [ 1, 2] в отрезок [ 1,10] и на отрезок[ 1, 4]).

  Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

 Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

 Опр. 4.1.15. Функция называется периодической, если существует число Т¹0 такое, что для "xÎX: 1. x+ТÎX; 2. f(x+Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

Гиперболические функции.

4.2.1. Определение гиперболических функций.

 Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции

   - синус гиперболический;   - косинус гиперболический;

  - тангенс гиперболический;

  - котангенс гиперболический.

Графики гиперболических функций:

Последовательность и её предел.

4.3.1. Определение последовательности и её предела.

  Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $. Возьмём e=1. $N: n> N Þa-1<an < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U1(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М1=min{a1,a2,a3,…,aN,a-1}, в качестве верхней границы число М2=max{a1,a2,a3,…,aN,a+1}. Тогда М1an М2, т.е. последовательность  действительно ограничена.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

 Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём "e>0. $N: n> N Þ| a-an |<. Возьмём любые n1, n2> N. Тогда и | a-an1 |<, и

| a-an2 |<. Оценим | an1-an2 |: | an1-an2 |=| an1-a+a-an2 |=| (an1-a)-(a n2-a) |  |an1-a | +

+ |a n2-a |<+=e Þ последовательность  фундаментальна.

 Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

Число е.

 Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

 Утв. 1. Последовательность  возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

  Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастётÞ an+1>an.

  Утв. 2. Последовательность  ограничена.

Предел функции одной переменной.

4.4.1. Предел функции.

 В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе ( производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.

4.4.1.1. Определение предела функции в точке.

  Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если хÎХ принадлежит также проколотой d-окрестности  точки а, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnÎX, xn ¹a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции { f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при x®а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Предел функции на бесконечности.

Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Бесконечно большие функции.

Опр.4.4.8. Функция f(x) называется бесконечно большой при х®а, если .

Обозначение: .

Опр.4.4.9. Функция f(x) называется положительной бесконечно большой при х®а, если .

Опр.4.4.9. Функция f(x) называется отрицательной бесконечно большой при х®а, если .

Такие же определения даются для случаев х®а+0, х®а-0, х®+¥, х®-¥.

Бесконечно малые (БМ) функции.

Опр. 4.4.10. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х®a Û {"e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e}.

БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.

Теор. 4.4.7. Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Арифметические действия с пределами.

Теорема 4.4.10. Пусть функции f(x), g(x) имеют предел при х®a, С=const. Тогда имеют пределы функции С f(x), f(x)±g(x), f(x)g(x),  ( если ), и

Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства  вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим

Сравнение поведения функций при х®а. Главная часть функции.

 Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.

  Определения. 4.4.8.1. f(x)~g(x) (f(x) эквивалентна g(x)) при х®а, если f(x)= s(x)g(x), где s(x)®1 при х®а. Если g(x)¹0 в окрестности точки а, то f(x)~g(x), если =1.

В остальных определениях мы не будем писать х®а, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях х®а-0, х®а+0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g(x)¹0 в окрестности точки а.

Сравнение бесконечно малых функций.

 В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х®а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

 Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Решение задач на вычисление пределов.

4.5.1. Непосредственное вычисление пределов.

1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция,

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.

Раскрытие неопределённостей.

  Более сложные случаи при решении задач на пределы - если подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым как  . Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределённости. Рассмотрим элементарные приёмы раскрытия неопределённостей.

4.5.3.5. Показательно-степенные неопределённости  сводятся к неопределённости  следующим образом:  (убедитесь, что во всех трёх случаях в показателе экспоненты получится неопределённость ). Однако неопределённости  ("типа е") часто сводят непосредственно ко второму замечательному пределу: пример 1.

4.5.3.6. Как уже говорилось, выделение главной части функции в совокупности с теор.4.4.9.2 о замене БМ и ББ на эквивалентные - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Пример: выделив главные части числителя и знаменателя, найти

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x),  (частное - в случае, когда g(х0)¹0).

Непрерывность элементарных функций.

 Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

5.3.1. Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

5.4.1. Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование   и равенство . С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

 Теор.5.5.1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

  Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Док-во. Пусть М*=. Требуется доказать, что , в котором f(х1)=М*. От противного: предположим, что для  f(х)<М*. Рассмотрим функцию . Так как, по предположению, знаменатель не обращается в нуль, эта функция непрерывна, следовательно, по Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке ограничена: Û, т.е. число , меньшее М*, оказывается верхней границей множества , что противоречит определению верхней грани. Аналогично доказывается, что , в котором f(х2)= М*=.

6. Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной.

  Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

Производная обратной функции.

Вывод формул производных функций  и .

Теор.6.1. Пусть для f(x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции ( непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точке х0 существует неравная нулю производная f'(х0). Тогда обратная функция х = g(у) в точке у0= f(х0) также имеет производную, равную .

Основные правила дифференцирования.

  Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

Примеры вычисления производной.

  Вывод формул производных функций, в которых применяются только арифметические действия, обычно не представляет трудностей:

Односторонние и бесконечные производные.

 В этом разделе будут рассмотрены особые случаи, которые могут встретиться при нахождении производных.

 6.7.1. Односторонние производные. Пусть х - правый или левый конец [a,b] отрезка, на котором определена функция. Тогда при вычислении предела отношения  в точке а мы можем рассматривать только случай , в точке b - только случай , т.е. искать односторонние пределы. Соответственно, полученные производные называются односторонними производными справа или слева. Графики функции будут иметь в этих случаях односторонние касательные.

Правила для вычисления дифференциала. Примеры вычисления дифференциала. Правила для вычисления дифференциала - прямое следствие правил дифференцирования (раздел 6.5):

Производные функций, заданных параметрически и неявно.

 6.10.1. Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: . Здесь мы воспользовались результатами разделов 6.5.5. Производная сложной функции и 6.3. Производная обратной функции. То же выражение можно получить из 6.8.2. Инвариантности формы первого дифференциала: .

Производные и дифференциалы высших порядков.

  6.11.1. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция  имеет производную y'(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y'(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается . Функция y''(x) тоже может иметь производную, которая  называется третьей производной (или производной третьего порядка) функции и обозначается . Вообще n-ой производной (или производной n-ого порядка) функции называется производная от производной n-1-го порядка (обозначения: ).

Основные теоремы дифференциального исчисления.

  В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?

7.1. Теорема Ферма.

Теорема Ролля.

 Теор.7.2. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b); 3. принимает на концах отрезка равные значения: f(a) = f(b).

  Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю: f '(с) = 0.

 Док-во. f (х) непрерывна на [a,b], поэтому, по Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Возможны случаи: 1. m = M. Это означает, что функция постоянна на [a,b]: f (х) = m = M. Тогда в каждой точке сÎ[a,b]

Теорема Коши.

 Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х) ¹ 0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Отметим предварительно, что g(b) ¹ g(a) ( иначе по теореме Ролля нашлась бы точка сÎ(a,b), в которой g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому $ сÎ(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной функций при .

 Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

6.3. Неопределённость как и в разделе 4.5.3.2. легко свести к неопределённости  или : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда представление даст неопределённость , представление даст неопределённость . Пример:

Формула Тейлора.

7.7.1. Формула Тейлора для многочленов. Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х: . Требуется представить функцию Р3(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда

Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р3(x).

Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора.

Лемма 7.8. Пусть для функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при  эта функция является бесконечно малой выше n-го порядка по сравнению с х- х0.

Представление по формуле Маклорена

элементарных функций.

. В этом случае , поэтому

, 0<q<1.

2. . В этом случае все производные чётного порядка равны при х = 0, производные нечётного порядка:  при х = 0, поэтому

Применение формулы Тейлора для нахождения пределов и приближённых вычислений.

 7.9.1. Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим примеры:

. Так как в знаменателе стоит х5, то при представлении функций, стоящих в числителе, по формуле Маклорена, мы должны брать многочлены не ниже пятой степени: ;  (следующий член разложения имеет шестую степень)

Исследование функций и построение их графиков.

8.1. Условие постоянства функции.

 Теор.8.1. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то  для .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

8.2. Условия монотонности функции.

Экстремумы функции, необходимое условие.

 В разделе 7.1. Теорема Ферма мы определили понятия локальных минимума, максимума (общее название - экстремумы) функции, и доказали, что если в точке внутреннего экстремума функции  существует производная , то . Таким образом получаем

8.4.2. Второй достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по знаку второй производной). Пусть функция  в стационарной точке имеет не только первую, но и вторую производную. Тогда если , то  - точка минимума, если , то  - точка максимума.

Это правило непосредственно следует из теоремы 7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции и из первого достаточного признака экстремума 8.4.1: если  - стационарная точка (), и , то производная  возрастает в точке . Так как , то  отрицательна при  и положительна при  в некоторой окрестности точки , т.е. меняет знак с "-" на "+" при переходе через критическую точку , следовательно,  - точка минимума. Если  - стационарная точка, и , то совершенно также доказывается, что  - точка максимума.

8.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

8.5.1. Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции.

 Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

 Опр.8.6.1. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен  или .

Из этого определения следует, что прямая  может быть вертикальной асимптотой графика функции  только в случае, когда точка  - точка разрыва второго рода этой функции.

Схема исследования функций и построения графиков.

  Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

Общий характер функции:

область определения функции и, если это возможно, область её значений;

наличие чётности, периодичности;

нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

наличие наклонных асимптот.

III. .  для , выпуклость графика направлена вверх, точек перегиба нет.

 Окончательный вариант графика:

4. .

I. ; общего вида; периодична, период Т=2 , поэтому достаточно построить функцию на одном периоде, например, на . Находим значения функции на концах этого отрезка: . При  ; найдём нули функции:

На отрезке  расположены два нуля функции:  и .  на интервалах  и ,  на интервале . В силу периодичности функции нет необходимости искать пределы функции на бесконечности и асимптоты.

II. . Ищем критические точки первого рода:  при  и , на отрезке  находятся три таких точки: ,  и . Характер критических точек определяем с помощью второй производной:

Распределение знаков второй производной очевидно: + - + -. Окончательный график функции:

6. .

I. ; общего вида; непериодична;  при ; пределы на границах области определения:, , ,

;  - точка разрыва второго рода; прямая   - вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты: ,

Комплексные числа. Многочлены. Рациональные функции.

9.1. Комплексные числа.

 9.1.1. Определениё комплексного числа.

Опр.9.1.1. Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

 Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

9.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число  как точку на плоскости с декартовыми координатами . Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол  называется аргументом комплексного числа   и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные   и т.д. тоже будут соответствовать числу , поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям , будем называть главным;  для обозначения всех значений аргумента комплексного числа   применяется символ : .

9.2. Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция  где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

 Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть   - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням  (как мы делали это в разделе 7.7.1. Формула Тейлора для многочленов):

Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.

 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной.

Определенный интеграл.

11.1. Определение.

 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке    задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь   трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

 Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

 Док-во. Докажем левое неравенство ( цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.2. Если функция  интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если  - непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от  до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

  Пример: .

 11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

,

функция  непрерывна на отрезке .

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика