Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Узловая передача нагрузки

В конструкциях транспортных сооружений внешняя, в частности подвижная, нагрузка на несущие элементы передаётся через вспомогательные элементы. Имеет место так называемая узловая передача нагрузки. В этом случае обобщение закона о линиях влияния требует, чтобы последние в характере своего изменения удовлетворяли, с одной стороны, основному свойству линии влияния, по которому (рис. 2.21) усилие определяют по формуле ; с другой стороны, чтобы эта величина удовлетворяла условию передаточного действия нагрузки, по которому .

По правилу рычага нагрузку F раскладывают на нагрузки Fn и Fn+1, являющиеся узловыми нагрузками

 

  (2.18)

 Отсюда следует, что при узловой передаче нагрузки линия влияния изменяется между узлами по закону прямой линии. На рис. 2.22 показаны примеры построения линий влияния при узловой передаче нагрузки.

 


Определение усилий в матричной форме

При решении многих задач строительной механики удобным оказывается использование матричного аппарата линейной алгебры.

На основании принципа суперпозиций запишем аналитические выражения для определения любых внутренних усилий S в различных сечениях стержня, подверженного действию системы сосредоточенных сил.

  (2.19)

В выражении (2.19)  - усилие в -м сечении от действия силы . В матричной форме эта система уравнений может быть записана в виде

 . (2.20)

В выражении (2.20) вектор искомых усилий ; Т - транспонированный вектор внешних нагрузок.

  - матрица влияния усилия. (2.21)

Из выражения (2.21) видно, что элементами матрицы влияния являются ординаты линий влияния того усилия, матрица влияния которого строится.

При определении усилий в матричной форме любая задача решается шире, чем это имеет место при определении усилия с помощью линии влияния. В этом случае охватывается сразу несколько сечений рассматриваемой конструкции. Размер матрицы влияния Ls зависит от числа участков, на которые разбивают рассчитываемую конструкцию.

Рассмотрим, например, построение матрицы влияния Lm моментов. Для этого возьмём двухопорную шарнирно опёртую с обеих сторон балку (рис. 2.23), разделённую на пять (n) равных по длине участков. Длина каждого участка d=. Если в точках 1,2,3,4 приложены какие-то сосредоточенные силы F, то изгибающий момент М в каждом из этих сечений определится в соответствии с (2.19) из выражений (2.21):

  (2.22)

В матричной форме выражения (2.22) примут вид , где - вектор-столбец искомых моментов;  - вектор-столбец внешних нагрузок.

 .

 


Из анализа рис. 2.23 и выражений (2.22) ясно, что элементами матрицы влияния Lm являются ординаты линий влияния моментов М для каждого сечения соответственно. Для данного примера эта матрица примет следующий вид:

  - матрица влияния моментов.

 . (2.23)

Из анализа структуры матрицы влияния Lm наблюдается закономерность в определении элементов матрицы влияния моментов, что позволяет вычислить любой элемент матрицы по формулам: при i j

mij=(d/n)(n- j); при i j mij=(d/h)(n-i).

  Рассмотрим пример построения эпюры М для балки (рис. 2.24), нагруженной системой сосредоточенных сил F. Пролёт балки =10 м разделён на пять частей, т.е. n=5. Тогда длина одной части составит . F1 = 5 кН; F2 = 15 кН; F3 = 5 кН.

Построение эпюры М будем осуществлять в соответствии с выражением (2.19), которое в матричной форме имеет вид

. (2.24)

При этом вектор-столбец искомых моментов , вектор-столбец  и матрица влияния моментов Lm приобретают следующий вид:

 ; .

Подставляя полученные матрицы в выражение (2.24) и совершая операцию перемножения матриц, получаем вектор-столбец искомых усилий - изгибающих моментов М.

 


.

По полученному вектору искомых изгибающих моментов построена эпюра М (см. рис. 2.24).

Матрицы влияния моментов для балок-консолей имеют следующий вид:

  Защемление балки слева - .

 Защемление балки справа - .

Механическое состояние не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях. Материальные тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, называют связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется силой реакцией связи, или просто реакцией связи.
Основная система метода сил