Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Расчёт трёхшарнирной арки на подвижную нагрузку

Расчёт на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния всех искомых параметров, определяющих напряжённо-деформированное состояние рассчитываемой конструкции.

Как обычно, расчёт начинают с построения линий влияния опорных реакций. Линии влияния вертикальных VА и VВ составляющих опорных реакций (рис. 3.6) строят так же, как строят линии влияния опорных реакций в двухопорной без консолей балке. При этом пролёт арки рассматривается как пролёт балки с длиной пролёта, равной расстоянию между пятовыми шарнирами А и В.

Линия влияния горизонтальной (распора Н) составляющей опорной реакции может быть построена в соответствии с выражением (3.4), согласно которому

   . (3.8)

Из (3.8) видно, что линия влияния распора имеет в точности такой же вид, что и линия влияния изгибающего момента для сечения С, построенной из рассмотрения пролёта арки как пролёта простой двухопорной балки (см. рис. 3.5). В соответствии с этим все ординаты данной линии влияния поделены на постоянную , равную стреле подъёма арки.

Линия влияния изгибающего момента  в произвольном сечении к арки, находящемся на расстоянии х от левой опоры, может быть построена исходя из формулы (3.5):

 . (3.9)

В соответствии с этим выражением л.в.  представляет собой алгебраическую сумму двух линий влияния - линии влияния балочного момента и линии влияния распора Н, ординаты которой умножают на постоянную величину уk. На рис. 3.7 показано построение  путём геометрического сложения указанных линий влияния.

Построение линии влияния поперечной силы Q основывается на формуле (3.6) и соответствует выражению

.  (3.10)

 


 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Согласно (3.10) л.в.  представляет собой геометрическую сумму двух линий влияния - балочной линии влияния , построенной для сечения к из рассмотрения пролёта арки как пролёта балки, и линии влияния распора , умноженных соответственно на значения  и , имеющих место в сечении к. На рис. 3.8 показано построение л.в. .

Построение линии влияния продольной силы , согласно формуле (3.7), можно осуществить по выражению

. (3.11)

На рис. 3.9 показано построение этой линии влияния. Анализ всех трёх линий влияния показывает, что на каждой из них есть такая точка, при положении над которой подвижной силы F=1 искомое усилие равно нулю. Эта точка называется нулевой и может быть использована для геометрического построения указанных линий влияния.

Известно, что при расположении нагрузки только над одной из двух полуарок (например, левой) вектор наклонной опорной реакции в другой (например, правой) будет проходить через пятовый В и замковый С шарниры.

При построении линии влияния изгибающего момента  

(рис. 3.10) методом нулевой точки (сечение k расположено на левой полуарке) вектор опорной реакции RB проводят через шарниры В и С, а вектор опорной реакции RA – через пятовый шарнир А и сечение k. Из рассмотрения равновесия левой от сечения k части арки очевидно, что  в случае прохождения вектора опорной реакции RA через сечение k . Точка D пересечения векторов RA и RВ является той точкой, при положении над которой подвижной силы  изгибающий момент . Для определения аналитически точных значений ординат линии влияния изгибающего момента  из подобия треугольников DOB~CPB и DOA~kEA находят расстояние

. (3.12)

 


Построение линии влияния поперечной силы  методом нулевой точки показано на рис. 3.11. Для того чтобы поперечная сила в сечении k , вектор опорной реакции RA должен проходить параллельно касательной, проведенный к очертанию оси арки в точке k. Формула для определения расстояния , полученная по тому же принципу, что и в предыдущем случае, имеет вид

 xQ = tg/(tgjk+ tg). (3.13)

В рассмотренном примере tga

Расстояние xN (см. рис. 3.11) можно определить по по формуле

 xN = tg/(ctgjk - tg). (3.14)

 


В случае расположения сечения k на правой полуарке формулы (3.12), (3.13) и (3.14) можно использовать с учётом того, что эти расстояния необходимо отмерять от правой пятовой опоры В.

Рассмотрим два частных случая построения л.в. , показанные на рис. 3.13 и 3.14. Если сечение, например k1, расположено на левой полуарке ближе к замковому шарниру С, то направление вектора опорной реакции  пересечёт направление опорной реакции  в точке (нулевой точке), расположенной над правой полуаркой (см. рис. 3.13). Но между двумя шарнирами (в данном случае С и В) усилие должно изменяться по закону прямой линии. Если сечение, например k2, расположено на левой полуарке таким образом, что направления опорных реакций и  пересекутся в шарнире С, то правая прямая (см. рис. 3.14) будет совпадать с базовой линией.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Статика - это раздел теоретической механики, в которой изучаются методы эквивалентных преобразований систем сил и определяются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. При изучении равновесия используют принцип неизменности геометрических форм и размеров твердых тел, поскольку их изменение под действием сил обычно мало по сравнению с первоначальными размерами. Поэтому в статике материальные тела считают абсолютно твердыми.
Основная система метода сил