Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Возможная работа внешних сил

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 5.8).

 1-е состояние 2-е состояние

 



В дальнейшем, понимая под F какую-то обобщённую силу, уберём индекс (*). Физический смысл показанных на рис. 5.8 перемещений заключается в следующем:

   перемещение в направлении силы F1 от действия той же силы F1;

   перемещение в направлении силы F2 от действия силы F1;

   перемещение в направлении силы F1 от действия силы F2;

   перемещение в направлении силы F2 от действия той же силы F2.

Работу силы F1 на вызванном ею перемещении  обозначим W11, а работу силы F2 на вызванном ею перемещении   W22. Учитывая, что эти силы приложены статически, в соответствии с определением действительной работы запишем

 (5.16)

С другой стороны, используя выражение (5.15), запишем

  (5.17)

Рассмотрим теперь статическое нагружение данной системы в такой последовательности (рис. 5.9): сначала к системе статически прикладывается сила

F1. Затем, когда процесс нарастания силы F1 закончится, к уже деформированной системе также статически прикладывается сила F2. До приложения силы F2 работа .

 

 


В результате дополнительного нагружения силой F2 система по

лучает дополнительные деформации. В связи с этим в ней возникают дополнительные усилия, равные тем, что имели место во втором (см. рис. 5.8) состоянии. В процессе приложения силы F2 сила F1 остаётся неизменной. Поэтому она на перемещениях, вызванных силoй F2, совершает возможную работу . В это время сила F2 на вызванном ею перемещении  совершает действительную работу . Таким образом, полная работа системы при описанном характере её нагружения будет равна

.  (5.18)

С другой стороны, учитывая то, что работа сил не зависит от порядка их приложения, можно записать

.  (5.19)

Приравнивая два последних выражения, после преобразований получаются следующие равенства:

 или  . (5.20)

На основании полученных равенств формулируется теорема о взаимности работ (теорема Бетти): возможная работа внешних сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных внешними силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Снова рассмотрим два состояния системы. Но в качестве нагрузок в обоих состояниях примем силы  и . Тогда вызванные ими перемещения (рис. 5.10) будут единичными .

На основании теоремы Бетти можно записать . Поскольку силы  и , то следует равенство , называемое теоремой о взаимности перемещений (теорема Рэлея). Перемещения по направлению сил первого состояния от сил, равных единице, второго состояния равны перемещениям по направлению сил второго состояния от сил, равных единице, первого состояния.

 1-е состояние 2-е состояние

 


 

Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние - силы, силы, действующие на данную систему со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, и внутренние - силы, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в рассматриваемую систему. Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики.
Основная система метода сил