Определение перемещений от действия температуры
Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде:
. (5.33)
В выражении (5.33)
взаимный угол поворота торцевых сечений (рис. 5.19) элемента, имеющего бесконечно малую длину ds стержня от заданной внешней нагрузки;
взаимное смещение торцевых сечений ds;
взаимное смещение торцевых сечений вдоль оси, перпендикулярной оси элемента. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры.
Пусть верхнее волокно элемента ds нагрето на t1, а нижнее на t2. При этом t1 t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения верхнее волокно удлинится на t1ds , а нижнее на t2ds. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.19, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента ds.
. (5.34)
Выражение (5.34) соответствует тому состоянию элемента ds, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента ds поворачиваются на угол
. (5.35)
Деформация сдвига в элементе ds не возникает, т.е.
![]()
Подставляя (5.34) и (5.35) в (5.33), получим интеграл Мора для определения температурных перемещений.
. (5.36)
Интеграл Мора (5.34) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся для прямолинейных или ломаных стержней, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.
, (5.37)
где
и
- площади единичных эпюр
и
.
При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно нейтральной оси, в формулах (5.34) и (5.35) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид
, где у расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков: если деформации элемента ds от температуры и от единичной силы одного знака, то соответствующие слагаемые в формулах (5.34) и (5.35) будут положительными, и соответственно наоборот.
Определение перемещений от осадки опор
При перемещениях опор любой статически определимой конструкции в её опорных закреплениях опорные реакции не возникают.
Пусть опора В рамы, представленной на рис. 5.20, получила осадку на величину . При определении линейного перемещения произвольной точки, например к, в единичном состоянии к этой точке в направлении искомого перемещения прикладывают сосредоточенную силу
. От действия этой силы определяют опорные реакции.
На основании принципа возможных перемещений можно составить следующую аналитическую зависимость:
(5.38)
Действительное состояние Единичное состояние
В соответствии с третьим уравнением в (5.37) можно записать общую формулу для определения перемещений от i-й осадки опор:
. (5.39)
Произведение в (5.37) считается положительным, если опорная реакция направлена в противоположную сторону от осадки опор.
Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние - силы, силы, действующие на данную систему со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, и внутренние - силы, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в рассматриваемую систему.
Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики.
Основная система метода сил |