Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Определение перемещений от действия температуры

Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде:

.  (5.33)

В выражении (5.33)   взаимный угол поворота торцевых сечений (рис. 5.19) элемента, имеющего бесконечно малую длину ds стержня от заданной внешней нагрузки;   взаимное смещение торцевых сечений ds;    взаимное смещение торцевых сечений вдоль оси, перпендикулярной оси элемента. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры.

Пусть верхнее волокно элемента ds нагрето на t1, а нижнее  на t2. При этом t1  t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения  верхнее волокно удлинится на t1ds , а нижнее  на t2ds. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.19, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента ds.

.  (5.34)

Выражение (5.34) соответствует тому состоянию элемента ds, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента ds поворачиваются на угол

.  (5.35)

Деформация сдвига в элементе ds не возникает, т.е.  

Подставляя (5.34) и (5.35) в (5.33), получим интеграл Мора для определения температурных перемещений.

.  (5.36)

 


Интеграл Мора (5.34) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся для прямолинейных или ломаных стержней, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.

,  (5.37)

где  и   - площади единичных эпюр  и .

При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно нейтральной оси, в формулах (5.34) и (5.35) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид , где у  расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков: если деформации элемента ds от температуры и от единичной силы одного знака, то соответствующие слагаемые в формулах (5.34) и (5.35) будут положительными, и соответственно наоборот.

Определение перемещений от осадки опор

При перемещениях опор любой статически определимой конструкции в её опорных закреплениях опорные реакции не возникают.

Пусть опора В рамы, представленной на рис. 5.20, получила осадку на величину . При определении линейного перемещения произвольной точки, например к, в единичном состоянии к этой точке в направлении искомого перемещения прикладывают сосредоточенную силу . От действия этой силы определяют опорные реакции.

На основании принципа возможных перемещений можно составить следующую аналитическую зависимость:

 (5.38)

  Действительное состояние Единичное состояние

 


В соответствии с третьим уравнением в (5.37) можно записать общую формулу для определения перемещений от i-й осадки опор:

. (5.39)

  Произведение в (5.37) считается положительным, если опорная реакция направлена в противоположную сторону от осадки опор.

Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние - силы, силы, действующие на данную систему со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, и внутренние - силы, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в рассматриваемую систему. Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики.
Основная система метода сил