Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Построение эпюр внутренних усилий в заданной системе

Основная система, в которой определены значения всех «лишних» неизвестных, представляет собой статически определимую систему с действующими на неё заданной внешней нагрузкой и усилиями . Для пoстроения эпюр внутренних усилий M, N, Q составляются аналитические выра­жения этих внутренних усилий для характерных участков рассчитываемой конструкции.

Кроме того, для построения эпюр внутренних усилий может быть использован также приём, основанный на принципе независимости действия сил. На осно­вании этого принципа для заданной n раз статически неопределимой системы усилия опре­деляются в соответствии с выражением 

 . (6.13)

 По полученным ординатам (6.13) строят эпюру М в заданной системе. Достаточным условием правильности построения эпюры М является проведение деформационной проверки. Для проведения деформационной проверки из заданной рассчитываемой системы выбирают любую основную систему метода сил, в которой строят любую эпюру моментов  от действия неизвестной силы .

 Соблюдение условия  свидетельствует о правильности построения эпюры М. По­переч­ные силы в заданной системе определяются по известной из теории изгиба дифферен­циальной за­висимости

 tg, (6.14) 

где    угол между эпюрой  и осью стержня рамы;   балочное значение поперечной силы.

 Продольные силы  в заданной системе определяют путём вы­резания узлов на эпюре . Составляют уравнения равновесия для этих узлов, проецируя силы на оси стержней, из которых и находят искомые значения усилий N.

 По эпюрам , ,  определяют реактивные усилия в опо­рах рассчитываемой рамы и проводят две проверки правильности построе­ния итоговых эпюр внутренних усилий.

 Узловая проверка. Вырезая узлы на эпюре , составляют уравнения равновесия статики , равенство нулю которых свидетельствует о правильности построенной эпюры .

 Статическая проверка. Для осуществления статической проверки показывают заданную схему рамы с действующей на неё заданной внешней нагрузкой, найденными усилиями Хi и усилиями в опорных связях Q и N. Справедливость уравнений статики  и  свидетельствует о правильности построенных эпюр Q и N.

В данном «Курсе» представляем примеры расчёта статически неопределимых рам методом сил на действие температуры и осадки опор.

Расчёт статически неопределимых рам методом сил

 на темпера­турные воздействия

Воздействие на конструкцию температуры является одним из видов внешнего силового фактора. Поэтому система канонических уравнений в этом случае будет отличаться от уравнений (6.6) только свободными членами.

  (6.15)

В системе уравнений (6.15) коэффициенты при неизвестных (единичные перемещения) определяются так же, как при расчёте на действие статической нагрузки, тогда как свободный член  системы (6.15) представляет собой перемещение в основной системе рассчитываемой рамы по направлению устранённой i-й связи от действия температуры.

В результате решения системы уравнений (6.15) находят значения неизвестных усилий Хit. Тогда эпюра может быть построена в соответствии с выражением

.  (6.16)

 В основной системе рамы от действия температуры возникают только перемеще­ния, а внутренние усилия при этом равны нулю. В заданной системе рамы воз­никают как перемещения, так и внутренние усилия. Рассмотрим пример расчёта статически неопределимой рамы (рис. 6.4), в качестве внешней нагрузки на которую действует изменение температуры.

Исходные данные для расчёта: =10 м; α – коэффициент линейного температурного расширения;   темпера­тура наружных волокон рамы;  температура внутренних воло­кон;  > ; h = 0,125 высота поперечного сечения рамы (рис. 6.5).

Степень статической неопределимости заданной системы определится из выражения

  n = 3К  Ш = 3  2  4 = 2. (6.17)

Из (6.17) очевидно, что заданная система является дважды статически неопределимой.

 


Основная система рамы выбрана из заданной путём устранения из неё двух простых кинематических опорных связей. Для того чтобы основная система рамы была эквивалентна заданной, вместо устранённых связей поставлены искомые усилия Х1t и Х2t.

В связи с тем, что при определении перемещений от действия температуры учитывается влияние и изгибающих моментов M, и продольных сил N, единичные эпюры построены для этих силовых факторов. На рис. 6.7 и 6.8 представлены эпюры от действия соответственно Х1=1 и Х2 = 1.

Система канонических уравнений в данной задаче принимает вид выражения

  (6.18)

 

 

Рис. 6.8

 
 


Определим коэффициенты канонических уравнений:

  (6.19)

Свободные члены системы канонических уравнений (6.19) определим по формулам предыдущего раздела: 

 WW , (6.20)

где   - изменение температур; h  высота поперечного сечения элемента; ;  ; С; W площадь эпюры моментов  в основной системе; Wплощадь эпюры продольных сил  в основной системе.

 Знаки в (6.20) определяют, сравнивая деформации от тем­пературы и от единичного воздействия. Если кривизна от силы и температуры одного знака, то знак в слагаемом берётся плюс.

Если деформации от силы и от температуры одного знака, то второе слагаемое будет положительное.

  ;

.

Подставляя найденные значения перемещений (6.19) и (6.20) в систему уравнений (6.18), получают систему уравнений

  (6.21)

После решения любым известным в математике методом системы канонических уравнений (6.21) находят значения X1t и X2t усилий в «лишних» связях от действия температуры.

; .

 Умножая эпюру на Х1t, а эпюру   на Х2t и суммируя их, получим эпюру , от действия температуры (рис. 6.9).

 По эпюре , используя дифференциальную зависимость между Q и M, определяем

 


  tga1 = -1,8362EJa;

   = tga2 ;

 .

По полученным значениям строим итоговую эпюру поперечных сил в задан­ной системе (рис. 6.10). Для построения эпюры продольных сил Nt на эпюре Qt вырезаем узел С (рис. 6.11).

Составляем условия равновесия узла С:

 ; (6.22)

 . (6.23)

 Из (6.22) и (6.23) находим; .

По полученным значениям строим эпюру  (рис. 6.12).

Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние - силы, силы, действующие на данную систему со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, и внутренние - силы, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в рассматриваемую систему. Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики.
Основная система метода сил