Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Геометрический анализ изменяемости стержневых систем

Число степеней свободы n сооружения в целом может быть определено по формуле П.Л. Чебышева

  n = 3Д - 2Ш – С0. (1.1)

Каждая цифра и символ этой формулы несут свою смысловую нагрузку: Д описывает число жёстких дисков рассматриваемой стержневой системы; 3 означает, что каждый диск на плоскости обладает тремя степенями свободы; Ш описывает число простых шарниров; 2 со знаком минус означает, что каждый простой шарнир «отнимает» у жёсткого диска на плоскости две степени свободы, т. е. предотвращает возможность поступательных перемещений диска по двум взаимно-перпендикулярным направлениям;  С0 описывает число простых кинематических связей; 1 и знак минус означает, что каждая простая кинематическая связь «отнимает» у жёсткого диска одну степень свободы, т.е. предотвращает возможность линейного перемещения диска вдоль стержня простой кинематической связи. Поместив начало системы координат в центре тяжести крайнего левого поперечного сечения балки, и рассекая ее в пределах участкаI, рассмотрим равновесие левой части балки длиной z1

Для кинематического анализа таких стержневых систем, как фермы, удобно пользоваться формулой

 n = 2У - Сф - Со, (1.2)

где У описывает число узлов фермы, а 2 означает, что каждый узел фермы на плоскости обладает двумя степенями свободы; Сф и С0 описывают число стержней фермы и число опорных простых кинематических связей соответственно; -1 перед ними означает, что каждый стержень налагает на координаты узлов фермы условие постоянства расстояния между узлами фермы. Если в результате определения числа степеней свободы (степени изменяемости) стержневой системы оказывается, что n>0, то система считается изменяемой, так как она не обладает необходимым минимумом связей. Такая система является геометрически изменяемой и не может быть использована в качестве сооружения.

 Сиcтема, для которой n = 1, называется механизмом и она тоже не может быть использована в качестве сооружения. Случай, когда n=0, означает, что рассматриваемая система обладает необходимым минимумом связей и при определённых условиях может быть использована в качестве сооружения. При n < 0 рассматриваемая система обладает числом связей больше необходимого минимума. Естественно, что такая система может быть использована в качестве сооружения. Последнее условие n <0 является необходимым, но недостаточным для точной оценки геометрической изменяемости стержневой системы, поскольку геометрическая изменяемость стержневой системы зависит не только от числа связей, но и от их расположения.

 Для полной оценки изменяемости стержневой системы необходимо соблюдать следующие принципы образования геометрически неизменяемых систем:

1) присоединение к жёсткому диску системы двухстержневого звена (диады) не изменяет степени свободы стержневой системы (рис. 1.4, а);

2) два жёстких диска могут быть соединены жёстко с помощью шарнира С и стержня АВ, ось которого не проходит через центр шарнира (рис. 1.4, б);

3) два жёстких диска могут быть соединены геометрически неизменяемо друг с другом тремя стержнями, оси которых не пересекаются в одной точке (рис. 1.4, в);

4) три жёстких диска (или стержня) можно соединить в геометрически неизменяемую систему с помощью трёх шарниров, не лежащих на одной прямой.

 


Несоблюдение указанных принципов образования геометрически неизменяемых систем может привести не только к появлению просто геометрически неизменяемой системы, но и к так называемой мгновенно изменяемой системе. Рассмотрим всегда геометрически неизменяемую двухстержневую систему АСВ, нагруженную в шарнире С сосредоточенной силой F так, как это показано на рис. 1.5.

 


 На построенном силовом треугольнике сторона ДЕ параллельна стержню АС и длина её в соответствии с принятым масштабом сил равна величине продольного усилия NАС, а длина ВС соответственно равна величине NBC. При уменьшении угла , что видно из силового треугольника, величины усилий NАС и NBC при неизменности значения силы F будут увеличиваться и в какое-то мгновение, когда все три шарнира окажутся на одной прямой, величины этих усилий станут равными бесконечности и стержни разрушатся. Вот почему мгновенно изменяемые системы не могут быть использованы в качестве строительных конструкций.

Механическое состояние не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях. Материальные тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, называют связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется силой реакцией связи, или просто реакцией связи.
Основная система метода сил