Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

РАСЧЁТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК

Уравнение трех моментов

Неразрезной называется статически неопределимая балка, прикреплённая к земле более чем тремя простыми кинематическими связями.

При расчёте неразрезных балок опоры принято нумеровать слева направо. На рис. 7.1 показана многопролётная неразрезная балка и её основная система, выбранная в соответствии с методом сил.

 


Степень статической неопределимости для неразрезных балок можно определять несколькими способами. Наиболее рациональным из них является способ, который заключается в том, что считают общее число простых кинематических связей, которыми балка прикреплена к земле. Из этого числа вычитают цифру 3, означающую минимально необходимое число простых кинематических связей для жёсткого прикрепления балки к земле. Полученное таким образом число представляет собой степень статической неопределимости рассматриваемой неразрезной балки. Так, показанная на рис. 7.1, а балка прикреплена к земле шестью простыми кинематическими связями. Значит, степень её статической неопределимости равна трём.

 Если рассчитывать неразрезную балку методом сил, то наиболее рациональной основной системой для неё является такая, в которой в надопорные сечения неразрезной балки введены шарниры, высвобождающие каждый одну степень свободы (рис. 7.1, б), давая возможность углового перемещения  надопорных сечений балки.

 На рис. 7.2 построены единичные эпюры моментов для неразрезной  три раза статически неопределимой балки.

 

 

Сопоставляя эти эпюры, можно сделать вывод о том, что в каждом из канонических уравнений метода сил будут иметь место только три коэффициента при неизвестных. Выделим из рассматриваемой неразрезной балки (рис. 7.3), имеющей по всей длине жёсткость EJ=const, два сопряжённых друг с другом пролёта.

Определяем угол поворота  (см. рис. 7.3) на n опоре в основной системе:

.  (7.1)

 


 


Перемножением соответствующих единичных эпюр определим коэффициенты при неизвестных.

. (7.2)

 . (7.3)

  . (7.4)

При определении грузового перемещения  на грузовой эпюре  приняты обозначения:  и   площади грузовых эпюр моментов (метода сил) соответственно для пролётов  и ;  и   расстояния от центра тяжести этих эпюр (см. рис. 7.3) соответственно до опор (n1) и (n+1).

. (7.5)

Подставим найденные перемещения в (7.1), перенося грузовое перемещение в правую часть уравнения и сокращая все слагаемые на изгибную жёсткость EJ:

   (7.6)

Следует обратить внимание на правую часть выражения (7.6). По сути, она представляет собой сумму двух условных (фиктивных) опорных реакций, полученных от загружения условной нагрузкой, описанной по закону построенных грузовых эпюр . Обозначив  и , а их сумму  за  и подставив их в выражение (7.6), получим уравнение, которое в строительной механике носит название уравнения трёх моментов.

 . (7.7)

При расчёте многопролётных неразрезных балок на статическую нагрузку для каждой промежуточной опоры записывают уравнение трёх моментов. Таких уравнений записывают столько, сколько раз является статически неопределимой рассчитываемая балка. В результате решения полученной таким образом системы алгебраических уравнений находят значения опорных моментов. Строят эпюру опорных моментов, которую геометрически складывают с грузовой эпюрой . В результате сложения получают эпюру моментов в заданной системе.

В прил. 2 приведены значения фиктивных опорных реакций и  для наиболее характерных случаев загружения однопролётных балок.

При действии внешних сил тела перемещаются по определенной (заданной) траектории с определенными скоростями и ускорениями или могут не перемещаться вовсе, то есть находиться в состоянии покоя (равновесия). Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами называется теоретической механикой. По характеру рассматриваемых задач механику принято делить на статику, кинематику и динамику. В статике излагается учения о силах и условиях равновесия тел под действием сил. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства движения тел. В динамике изучаются законы движения материальных тел под действием сил
Основная система метода сил