Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

Основы метода

Метод перемещений в строительной механике является во многом основополагающим для большинства современных методов (метод конечных элементов и др.) раскрытия статической неопределимости сложных стержневых конструкций.

В методе сил за неизвестные принимают усилияв устранённых связях, а дополнительными уравнениями являются условия совместности основной и заданной систем, записываемых в виде уравнений, описывающих равенство перемещений в направлении этих устранённых связей.

  В методе перемещений, наоборот, неизвестные выбирают в виде перемещений , а дополнительными уравнениями являются условия совместности основной и заданной систем, записанных в виде статических уравнений.

Основная система в методе сил обычно выбирается статически определимой.

 В методе перемещений основная система всегда статически неопределимая.

Метод перемещений имеет преимущество перед методом сил в том, что для сложных конструкций количество неизвестных в методе перемещений меньше, чем в методе сил. Другим преимуществом метода перемещений перед методом сил является то, что в методе перемещений для любой заданной системы возможен только один вариант основной системы, тогда как в методе сил для заданной системы можно выбрать несколько вариантов основной системы.

 При расчёте рамных систем методом перемещений принимают следующие допущения:

а) деформациями стержней, работающих на изгиб от продольных и поперечных сил, пренебрегают;

б) ввиду малости перемещений отрезки, соединяющие концы любого деформированного стержня, принимают равными длине самих стержней;

в) сближение концов стержня при его изгибе как от внешней нагрузки, так и от смещения узлов рамы не учитывают.

За неизвестные в методе перемещений принимают (рис. 8.1) перемещения Z - углы поворота жестких узлов рамы и линейные смещения узлов рамы.

 


Выбор основной системы

Основную систему в методе перемещений выбирают из заданной путём введения во все жёсткие узлы условных жёстких заделок. В направлении возможных линейных подвижек элементов заданной системы ставят условные простые кинематические связи, препятствующие линейным подвижкам этих элементов. Следует отметить, что условные жёсткие заделки предотвращают только угловые перемещения, но не препятствуют линейным перемещениям этих узлов.

В методе перемещений заданная стержневая система превращается в совокупность однопролётных статически неопределимых стержней, известные решения которых используются при расчёте рассматриваемых заданных систем.

В методе перемещений имеет место не статическая, как в методе сил, а кинематическая неопределимость  заданной системы. Кинематическую неопределимость n определяют по выражению

,  (8.1)

где - число жестких узлов, в которые необходимо ввести условные жёсткие заделки, устраняющие возможные повороты узлов;  - число простых кинематических связей, которые необходимо ввести в заданную систему, чтобы устранить возможные линейные подвижки элементов рамы.

Пример. Определить степень кинематической неопределенности рамы, показанной на рис. 8.1.

·, т.к. рассматриваемая рама имеет два жёстких узла, обозначенных на схеме цифрами 1 и 2;

·для определения  во все узлы заданной рамы вводят шарниры (рис. 8.2), тем самым превращая заданную схему рамы в геометрически изменяемую систему.

 


В дальнейшем исследование такой системы сводится к определению того количества простых кинематических связей, которые необходимо поставить в неё для того, чтобы превратить её в геометрически неизменяемую систему. Для этого по формуле nл = 3Д  2Ш  С0 из первого раздела настоящего курса определяем

 . (8.2)

Из (8.2) очевидно, что заданная на рис. 8.1 система имеет одну линейную подвижку.

Таким образом, согласно выражению (8.1), степень кинематической неопределимости рассматриваемой рамы будет равна

  . (8.3)

При выборе основной системы метода перемещений в жёсткие узлы 1 и 2 заданной системы вводим условные защемления, устраняющие поворот примыкающих к этому узлу поперечных сечений стержней. Затем в направлении возможной линейной подвижки вводим одну условную простую кинематическую связь 3, которая устраняет возможное линейное смещение горизонтального элемента рамы (ригеля). На рис. 8.3 показана выбранная из заданной (см. рис. 8.1) основная система.

Из анализа основной системы видно, что она представляет собой набор однопролётных статически неопределимых балок. Как правило, такими балками являются балки двух типов - защемлённые с обеих сторон и балки, защемлённые с одной стороны и шарнирно опёртые с другой. Исходя из этого, основную систему метода перемещений в обобщённом виде можно представить как систему, состоящую из набора определённого количества конечных элементов. Однажды рассчитав эти статически неопределимые балки от действия различного вида внешней нагрузки и перемещений, их можно использовать для расчёта любых статически неопределимых стержневых систем методом перемещений. В прил. 2 приведены данные расчёта часто встречающихся в инженерной практике статически неопределимых балок.

 

 


 

При действии внешних сил тела перемещаются по определенной (заданной) траектории с определенными скоростями и ускорениями или могут не перемещаться вовсе, то есть находиться в состоянии покоя (равновесия). Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами называется теоретической механикой. По характеру рассматриваемых задач механику принято делить на статику, кинематику и динамику. В статике излагается учения о силах и условиях равновесия тел под действием сил. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства движения тел. В динамике изучаются законы движения материальных тел под действием сил
Основная система метода сил