Смотрите описание мясо оптом у нас.
Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Канонические уравнения метода перемещений

В каждой условно введенной связи основной системы возникают реактивные усилия как от действия внешней нагрузки, так и от смещения связей. В заделках возникают реактивные моменты, а в линейных связях - реактивные усилия.

Условия эквивалентности заданной и основной систем в методе перемещений записывают в виде системы канонических уравнений

  (8.4)

Канонические уравнения метода перемещений (8.4) описывают реактивные усилия в условных связях и заделках основной системы как от перемещений этих связей и заделок, так и от заданной внешней нагрузки.

Физический смысл коэффициентов при неизвестных перемещениях Zi заключается в том, что rij представляет собой реактивное усилие в i-й условной заделке или связи в основной системе от перемещения j-й условной заделки или связи на единицу.

Физический смысл свободного члена RiF системы канонических уравнений метода перемещений заключается в том, что он представляет собой реактивное усилие в i-й условной связи или заделке от внешней нагрузки.

Равенство нулю каждого из уравнений означает, что в заданной системе нет ни заделок, ни связей, т.к. они являются условными.

Система канонических уравнений метода перемещений в матричной форме имеет следующий вид:

 , (8.5)

где   - матрица реакций;  - вектор реакций от внешней нагрузки; - вектор искомых перемещений.

В матрице реакций различают «главные» реакции , , …, , имеющие индексы i = j, и побочные реакции , , …,  и т.д., у которых .

     . (8.6)

«Главные» реакции всегда положительны. Побочные реакции могут иметь любой знак и обладают свойством взаимности, т.е. .

Матрица жёсткости  обладает рядом свойств:

определитель этой матрицы всегда положителен;

матрица  всегда симметрична относительно главной диагонали;

произведение двух «главных» реакций всегда больше квадрата соответствующего побочного перемещения .

Для определения значений элементов  матрицы реакций строят эпюры моментов  от перемещений  условных заделок и связей. На рис. 8.4 показаны такие эпюры, построенные для основной системы, изображённой на рис. 8.3. Значения ординат эпюр  взяты из прил. 2.

В строительной механике имеются два метода определения значений элементов   матрицы реакций: 1) кинематический, который основан на правиле П.Верещагина (аналогично определению перемещений) путём перемножения эпюр; 2) статический, использующий уравнения равновесия.

Наиболее рациональным методом определения реактивных усилий является статический метод. В соответствии с этим методом используют два уравнения статики - либо уравнение моментов, либо сумму проекций на ту или иную ось, например у, , сил, действующих на рассматриваемую часть основной системы метода перемещений.

Рассмотрим в качестве примера определение реактивных усилий  по эпюрам, показанным на рис. 8.4.

 

Z3=1

Для определения, например, реактивного усилия , которым является изгибающий момент в условной заделке 1 от поворота этой заделки на единицу, мысленно вырежем на эпюре   узел 1 (рис. 8.5, а). Реактивный момент направлен в сторону заданного перемещения Z1. Рассматривая равновесие этого узла, запишем  Þ .


Реактивное усилие представляет изгибающий момент, возникающий в условной заделке 1 от поворота условной заделки 2 на единицу.

 В соответствии с этим на эпюре мысленно вырежем узел 1 (см. рис. 8.5) и снова составим уравнение равновесия:

Þ .

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно найти реактивное усилие (см. рис. 8.5, в). В случае, если реактивным усилием является продольное усилие в условной связи (в данном случае это условная связь 3) уравнение равновесия представляет собой . Для того чтобы составить это уравнение на эпюре (эпюра ), построенной от линейного перемещения условной связи 3, мысленно делают сечение и рассматривают равновесие (рис. 8.5, г) оставшейся части рамы.

В рассматриваемом примере  Þ .

Для оценки правильности вычисления коэффициентов  строят суммарную единичную эпюру (см. рис. 8.4).

Произведение этой эпюры саму на себя должно давать сумму всех коэффициентов при неизвестных.

 .  (8.7)

В случае невыполнения равенства (8.7) проводят построчную проверку.

  ;

 ; (8.8) …………………………...

 .

Для определения свободных членов  системы канонических уравнений (8.4) метода перемещений в основной системе строят так называемую грузовую эпюру , показанную на рис. 8.6.

 При построении этой эпюры используют стандартные решения из прил. 3. Значения   находят, используя те же методы, которые используются для определения коэффициентов . Так, для определения значения реактивного усилия  мысленно вырезают узел 1, а усилия  - узел 2. Из уравнений равновесия находят соответственно  и . Реактивное усилие , которым в данной задаче является продольное усилие в условной связи 1, определяют, мысленно делая сечение на эпюре  по стойкам близко к ригелю. Из суммы проекций на горизонтальную ось можно найти .

 

 


Проверка правильности определения значений  осуществляется в соответствии с выражением

  , (8.9)

где   - эпюра изгибающих моментов (рис. 8.7) от внешней нагрузки, построенная в любой статически определяемой системе, являющейся основной системой метода сил рассчитываемой заданной системы.

Решение системы канонических уравнений и построение эпюр внутренних усилий

Найденные значения коэффициентов при неизвестных  и свободных членов подставляют в систему (8.4) канонических уравнений метода перемещений и решают любым известным в линейной алгебре способом.

В результате решения системы канонических уравнений метода перемещений находят значения Zi искомых перемещений. Нахождение искомых значений перемещений Zi означает, что заданная к расчёту (заданная система) стержневая конструкция становится кинематически определимой.

Все внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержней от найденных перемещений Zi и от заданной внешней нагрузки, могут быть в соответствии с принципом суперпозиции определены из выражения

 .  (8.10)

Необходимым контролем правильности построения эпюры М является условие равновесия изгибающих моментов в жёстких узлах рассчитываемой конструкции. В основной системе метода перемещений единичные и грузовая  эпюры являются неуравновешенными. Но единичные эпюры , будучи каждая умноженная на соответствующее ей перемещение Zi и сложенные друг с другом и грузовой эпюрой , обязательно должны в итоге давать эпюру моментов М с уравновешенными в жёстких узлах моментами. Отмеченное условие правильности построения итоговой эпюры моментов М является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности построения эпюры М является проведение деформационной проверки, суть которой изложена в разделе 6 настоящего курса. При этом не имеет значения, с использованием какого метода – метода сил или метода перемещений – построена итоговая эпюра моментов М. Поэтому для проведения деформационной проверки из заданной рассчитываемой системы выбирают любую основную систему метода сил, в которой строят любую эпюру моментов  от действия неизвестной силы . Соблюдение условия  свидетельствует о правильности построения эпюры М.

Построение эпюр поперечных Q и продольных N сил осуществляют точно так же, как это делается (см. раздел 6 настоящего курса) при решении статически неопределимых задач методом сил.

При действии внешних сил тела перемещаются по определенной (заданной) траектории с определенными скоростями и ускорениями или могут не перемещаться вовсе, то есть находиться в состоянии покоя (равновесия). Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами называется теоретической механикой. По характеру рассматриваемых задач механику принято делить на статику, кинематику и динамику. В статике излагается учения о силах и условиях равновесия тел под действием сил. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства движения тел. В динамике изучаются законы движения материальных тел под действием сил
Основная система метода сил