Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды

Рассмотрим невесомую балку, весом которой по сравнению с массой m пренебрегаем (рис. 9.4).

Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклонённом положении на массу m действует сила инерции J, равная, как известно из курса физики, произведению массы на ускорение.

  . (9.1)

 

 

Перемещение массы определяем через единичное перемещение в соответствии с выражением

 . (9.2)

Перемещение  в (9.2) представляет собой перемещение, найденное от действия силы F=1, приложенной в точке прикрепления массы m. 

С учетом (9.1) выражение (9.2) принимает вид

 . (9.3)

Перенося все слагаемые в левую часть уравнения (9.3), получим дифференциальное однородное уравнение, описывающее собственные колебания системы с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды:

 . (9.4)

Для приведения этого уравнения к стандартному виду разделим все слагаемые в (9.4) на произведение .

 . (9.5)

Обозначим в (9.5) . Тогда дифференциальное уравнение (9.5) принимает стандартный вид 

 . (9.6) 

Получили уравнение, описывающее собственные колебания системы с одной степенью свободы. Параметр собственная частота колебаний.

В математике получено решение уравнения (9.6), которое имеет следующий вид:

,  (9.7)

где  постоянные интегрирования.

Для определения  используем начальные условия, имеющие место в момент времени t=0. При t=0 начальный прогиб , начальная скорость . Подставим в (9.7) t=0.

.  (9.8)

Из (9.8) находим, что . Для определения постоянного интегрирования А1 необходимо взять первую производную по времени от выражения (9.7), т.е. найти выражение, по которому в процессе колебания изменяется скорость перемещения колеблющейся массы.

. (9.9)

Подставляя в (9.9) t=0, получим

.  (9.10)

Из (9.10) найдём, что . С учётом найденных значений постоянных интегрирования решение дифференциального уравнения (9.7) принимает окончательный вид

.  (9.11)

Получили закон перемещения массы. Предположим, что колеблющаяся масса m находится в покое и мы её вывели из равновесия, придав ей начальную скорость . Тогда . Если в начальный момент времени балка уже была изогнута (см. рис. 9.4) и она стала совершать колебания, то начальная скорость колебаний при этом . Тогда уравнение колебаний примет вид . Оба эти закона одинаковы по своему характеру, только смещены по фазе. Для анализа колебаний примем закон   и построим его график (рис. 9.5) согласно данным, приведённым в табл. 9.1.

  Таблица 9.1

t

0

0

 


Из анализа графика (см. рис. 9.5) очевидно, что все циклы колебаний одинаковые. Наибольшее отклонение массы от положения статического равновесия равно постоянной величине, которая носит название амплитуды колебаний . Удвоенная величина амплитуды колебаний составляет размах колеблющейся точки. Время Т, за которое балка совершает полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из анализа графика (см. рис. 9.5) можно записать, что . Число полных циклов колебаний в единицу времени называется частотой колебаний; если взять за единицу времени 2p с, то частота собственных (свободных) колебаний  с-1. Учитывая, что , частота собственных колебаний может быть определена из выражения

 . (9.12)

Каждая создаваемая машина или конструкция, проектируемая деталь должна быть работоспособной. Работоспособность - это такое состояние конструкции, при котором она работает с сохранением свойств прочности, жесткости и устойчивости. Прочность - это способность тела воспринимать нагрузки без разрушения. Жесткость - это способность тела воспринимать нагрузки без заметного изменения форм и размеров. Устойчивость - это способность тела воспринимать нагрузки с сохранением первоначальной формы равновесия. Сопромат - это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций и машин.
Основная система метода сил