Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим балку (рис. 9.6) с массой m. К массе приложена F(t) – возмущающая сила, создающая вынужденные колебания и изменяющаяся по гармоническому закону t. Частота возмущающей силы обозначена символом , а амплитудное значение возмущающей силы – F0.

 

Рис. 9.6

 
 


Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклонённом положении на массу действуют силы: F(t) – возмущающая сила; J(t) – сила инерции.   частота возмущающей силы; амплитуда силы F(t).

Силами сопротивления, которые возникают при колебаниях, пренебрегаем. Перемещение массы в любой момент времени через единичное перемещение определяем по выражению 

.  (9.13) 

Подставим в (9.13) вместо инерционной силы J(t) выражение, представленное формулой (9.1)

. (9.14)

После раскрытия скобок в уравнении (9.14) и деления всех слагаемых на произведение массы и единичного перемещения получаем

 .  (9.15) 

Обозначим в (9.15) w =  - собственная частота колебаний. Уравнение (9.15) принимает вид

 .  (9.16) 

Как известно, полное решение дифференциального уравнения (9.16) представляют в виде . Общее у0 решение представляет собой решение однородного дифференциального уравнения. Частное у2 решение уравнения (9.16) ищем в виде ;  С учётом изложенного уравнение (9.16) примет следующий вид:

  (9.17)

Из уравнения (9.17) следует, что постоянная интегрирования С может быть найдена из выражения

 . (9.18)

С учетом  постоянная интегрирования С получается равной

.  (9.19) 

В (9.19) yст = F0δ11. Замечаем, что амплитуда вынужденных колебаний от силы, изменяющейся по гармоническому закону, больше, чем прогиб от силы, приложенной статически. Обозначим  - динамический коэффициент. График изменения динамического коэффициента μ в зависимости от отношения  показан на рис. 9.7.

 


При   = 1 коэффициент μ равен ∞, что означает бесконечно большие прогибы в конструкции, а это равносильно ее разрушению. Явление, при котором частота собственных колебаний ω совпадает с частотой возмущающей силы , называется резонансом. Резонанс опасен для конструкций, поэтому надо стремиться к тому, чтобы частоты ω и  не совпадали.

Полное решение дифференциального уравнения (9.16) для вынужденных колебаний имеет вид

  . (9.20) 

Анализируя выражение (9.20), отмечаем, что первые два слагаемые описывают собственные колебания и быстро затухают. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания, которые остаются и имеют ту же частоту,  что и возмущающая сила F(t).

Каждая создаваемая машина или конструкция, проектируемая деталь должна быть работоспособной. Работоспособность - это такое состояние конструкции, при котором она работает с сохранением свойств прочности, жесткости и устойчивости. Прочность - это способность тела воспринимать нагрузки без разрушения. Жесткость - это способность тела воспринимать нагрузки без заметного изменения форм и размеров. Устойчивость - это способность тела воспринимать нагрузки с сохранением первоначальной формы равновесия. Сопромат - это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций и машин.
Основная система метода сил