Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Собственные колебания системы с конечным числом степеней свободы

Рассмотрим балку (рис. 9.8) с n сосредоточенными массами, которые совершают собственные колебания в вертикальной плоскости. Вращения, горизонтальные смещения масс и силы сопротивления внешней среды при анализе колебательного процесса не учитываются.

Число степеней свободы такой системы равно n. К каждой из масс приложены силы инерции J1,J2,…, Jn. В этом случае имеют место собственные колебания системы с n степенями свободы.

 


Обозначим отклонение масс y1, y2,…, yn, а амплитуды колебаний - A1, A2,…, An.

Уравнения движения масс примем в виде, описанном выражениями

 (9.21) 

В соответствии с принятым законом колебаний (9.21) определим силы инерции:

sin(w t + n) = m1w2y1;

J2 = - m2 sin(w t + n) = m1w2y1;

…………………………………………………… (9.22) 

.

Найдем перемещения точек прикрепления каждой из масс от всех инерционных сил:

;

;

…………………………………………  (9.23)

.

Разделим в (9.23) все слагаемые на ω2 и, обозначая  (собственное число), перенося все слагаемые в одну сторону, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются перемещения у точек прикрепления масс.

  (9.24) 

Система уравнений (9.24) имеет два решения. Первое: когда неизвестные (в данном случае у) равны 0. Такое решение не соответствует физике этой задачи, т.к. оно обозначает, что рассматриваемая балка находится в состоянии покоя. Второе: отличное от нуля, когда y10; y20; yn0 и т.д. Но это решение возможно лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю.

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, представляет собой уравнение, которое называется характеристическим или вековым. Для определения корней λ1, λ2,…, λn этого уравнения каждому значению λi соответствует собственная частота колебаний . Число частот равно числу степеней свободы рассматриваемой системы. Покажем первые три формы колебаний для рассмотренной ранее балки (рис. 9.9).

= 0 - вековое уравнение. (9.25)

Свободные колебания систем могут происходить как по одной из форм колебаний, так и по совокупности нескольких форм. В рассмотренном решении не учтены силы сопротивления, что является приближенным решением. Для практических задач результаты приведенного расчета систем на собственные колебания являются приемлемыми с достаточной степенью точности. Каждой частоте ωi соответствует своя форма колебаний. 

 


 

Каждая создаваемая машина или конструкция, проектируемая деталь должна быть работоспособной. Работоспособность - это такое состояние конструкции, при котором она работает с сохранением свойств прочности, жесткости и устойчивости. Прочность - это способность тела воспринимать нагрузки без разрушения. Жесткость - это способность тела воспринимать нагрузки без заметного изменения форм и размеров. Устойчивость - это способность тела воспринимать нагрузки с сохранением первоначальной формы равновесия. Сопромат - это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций и машин.
Основная система метода сил