Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Кинематический способ построения линий влияния

Кинематический способ построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа). Если система твёрдых тел, связанная между собой идеальными связями, находится в равновесии, то сумма работ всех заданных сил на любых сколь угодно малых возможных перемещениях равна нулю.

Идеальными считаются такие связи, в которых отсутствуют трение, обмятия узлов и другие аналогичные явления. Возможными считаются такие перемещения, какие допускают идеальные связи.

В соответствии с этим методом каждая линия влияния представляет собой эпюру перемещений. Рассмотрим построение линии влияния опорной реакции (рис. 2.15) для однопролётной балки АВ. Поместив подвижную единичную силу  в произвольную точку, отбрасывают опорную связь в точке А.

Под действием силы балка АВ, ставшая механизмом, повернётся вокруг опоры В на угол , а перемещение точки под силой  составит величину у.

В соответствии с принципом Лагранжа можно записать следующее выражение:

 у  RA  = 0. (2.9)

Работа силы взята со знаком минус, так как сила RA противоположна направлению перемещения точки А. Учитывая, что , найдём RA = 1у.

Если ординаты возможных перемещений выразить как функцию угловой скорости  возможного вращения вокруг шарнира В, то выражение величины опорной реакции получит такой же вид, как и выражение (2.1), т. е. RA = . Исходя из этого, когда подвижная сила   будет находиться над опорой А, станет соблюдаться равенство у=d.

При построении линии влияния момента для превращения балки АВ в механизм (рис. 2.16) в сечение, для которого требуется построить эту линию влияния, вводят условный шарнир. Высвободившееся усилие обозначают символом M.

Введение шарнира даёт балке возможность провиснуть, и эпюра возможных перемещений такой балки охарактеризуется двумя прямыми, взаимно пересекающимися на вертикали под шарниром. Восстановление равновесия может быть достигнуто приложением в рассматриваемом сечении двух равных взаимно противоположных моментов М.

Выражение возможной работы в этом случае примет следующий вид:

М МFy. (2.10)

Учитывая то, что , из (2.10) найдём М = .

Величины угловых смещений  и  по их малости могут быть заменены тангенсами углов, а именно ка, тогда последнее выражение примет вид

М = .  (2.11)

 По выражению (2.11) можно найти ординаты линии влияния М. При построении линии влияния поперечной силы Q для превращения балки АВ в механизм (рис. 2.17) в сечение, в котором требуется построить эту линию влияния, вводят условное устройство, допускающее только взаимный сдвиг звеньев балки между собой.

Выражение возможной работы в этом случае примет вид

- Q×c Q×c + F×y = 0.

 

Откуда с учётом того, что с +с = d, находят

 Q = . (2.12)

Механическое состояние не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях. Материальные тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, называют связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется силой реакцией связи, или просто реакцией связи.
Основная система метода сил