Курс лекций по строительной механике Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Расчёт трёхшарнирной арки Правило П. Верещагина

Определение расчётного положения подвижной системы нагрузок

Расчётное положение подвижной системы сосредоточенных сил над линией влияния усилия S соответствует max или min искомой величины этого усилия. В общем случае искомое усилие S может иметь несколько экстремальных (max или min) значений.

Искомое усилие S=f(x) функционально зависит от положения системы сосредоточенных сил на балке. Для определения его экстремального значения необходимо, чтобы первая производная от усилия S по координате x соответствовала условию dS/dx = 0. Исходя из этого, можно найти такое положение подвижной системы сосредоточенных сил, при котором S=f(x) достигает экстремального значения.

Рассмотрим определение экстремального значения усилия S при загружении треугольных линий влияния.

Для случая, когда вершина треугольника линии влияния находится в начале или в конце линии влияния (рис. 2.18), экстремальным положение подвижной системы сосредоточенных нагрузок будет тогда, когда вся наибольшая нагрузка находится над вершиной линии влияния или вся система нагрузок находится над всей линией влияния, начиная с её вершины

То или иное расположение нагрузки зависит от количественных значений каждой из нагрузок, составляющих данную подвижную систему. В случае, когда подвижная нагрузка представляет собой равномерно распределённую нагрузку,  экстремальным будет такое (рис. 2.19) расположение этой нагрузки, когда ординаты этой линии влияния, находящиеся в начале и конце действия распределённой нагрузки ун и ук, будут равны между собой.

 


При загружении треугольной линии влияния системой сосредоточенных подвижных сил (рис. 2.20), когда вершина линии влияния находится на расстоянии а от её начала, любое усилие можно найти исходя из выражения

. (2.13)

Если предположить, что вся система нагрузок сдвинулась вправо или влево, значение усилия получит приращение dS. В правой части равенства (2.13) ординаты изменятся на величину dxtgk. Тогда

 tgaidx. (2.14)

 

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.14), представляет собой значение первой производной от величины . Известно, что функция достигает своего экстремального значения, когда её первая производная равна нолю. В соответствии с этим

  tgai = 0. (2.15)

Но так как углы наклона 1, 2, …, k, …, n линии влияния остаются без изменения, выражение (2.15) может обратиться в ноль при условии, если изменяются величины некоторых сил F. Последнее условие возможно только при переходе какой-либо силы, называемой Fкр, через вершину линии влияния, что пзволило получить неравенства (2.16), определяющие экстремальное положение над треугольной линией влияния системы сосредоточенных подвижных нагрузок:

  (2.16) 

В практике расчёта конструкций транспортных сооружений часто используют так называемую эквивалентную нагрузку. Эквивалентной называется такая равномерно распределённая нагрузка интенсивностью qэ, которая создаёт в рассматриваемом сечении такое же усилие, какое вызывает система из сосредоточенных нагрузок, установленная в экстремальном положении.

При загружении линии влияния любого усилия системой сосредоточенных нагрузок усилие может быть найдено по выражению (2.6) . По данному определению эквивалентной нагрузки усилие в соответствии с (2.7) может быть найдено по выражению w. Приравнивая оба значения S, найдём

 . (2.17)

Очевидно, что величина эквивалентной нагрузки зависит от вида и очертания линии влияния. Однако для подобных между собой линий влияния, которые могут быть построены одна из другой изменением всех ординат в одном и том же соотношении, эквивалентные нагрузки имеют одинаковую интенсивность.

Механическое состояние не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях. Материальные тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, называют связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется силой реакцией связи, или просто реакцией связи.
Основная система метода сил