Курс лекций по физике Колебания и волны Анализ колебаний в нелинейных цепях Примеры анализа свободного колебаний Линейные параметрические цепи

Колебания и волны

Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных  динамических системах.

Преобразование Лапласа и его основные свойства.

  В технических науках, в особенности в теории линейных электрических цепей, технической кибернетики и др., широко используется преобразование Лапласа. Это интегральное преобразование, которое определенным функциям f(t) действительного переменного t, называемым оригиналами, по формуле 

 F(p)= (1.1)

ставит в соответствие функции F(p) комплексного переменного p=δ+iω называемые изображениями. Для связи f(t) и F(p) вместо (1.1) используют различные обозначения, в том числе F(p)=[f(t)] или f(t) F(p), где  - оператор прямого преобразования Лапласа.

 Обычно к классу функций – оригиналов относят «классические» функции ограниченного роста, удовлетворяющие условиям Дирихле и отличные от нуля при t≥0. Однако для ряда важных приложений удобно класс оригиналов расширить, включив в него обобщенные функции – импульсную функцию Дирака δ(t) и ее производные. Правомерность такого расширения обоснована в теории обобщенных функций.

 Найдем изображение некоторых важных для практики функций:

 а) Изображение единичной ступенчатой функции

 σ(t)═{ [σ(t)]==. (1.2)

 

 б) Изображение экспоненциальной функции

 f(t)={ = e F(p)= =. (1.3)

 в) Изображение импульсной функции Дирака

  [δ(t)== e-p0 = 1. (1.4)

 Следующие свойства преобразования Лапласа являются основными для его широкой применимости. Они соответствуют операциям, которые выполняются над функциями-оригиналами, причем каждый раз функция, являющаяся результатом той или иной операции, должна принадлежать к классу функций – оригиналов. Во всех свойствах F(p) – изображение исходной функции – оригинала, подвергаемой операциям.

Линейность преобразования:

 [] = . (1.5)

Изображение производной:

 [] = pn. (1.6)

Изображение интеграла:

 []=. (1.7)

Изображение функции с запаздывающим аргументом:

  [f(t-θ)] = e-pF(p) (1.8)

 5. Изображение функции с экспоненциальным сомножителем:

 [f(t)eat]=F(p-a). (1.9)

Изображение свертки функций:

  [dτ]=F1(p)F2(p). (1.10)

7. Изображение функции с измененным масштабом:

  [f(аt)]=F(). (1.11)

Изображение функции с сомножителем tn:

  [tn f(t)]=(-1)n F(n)(p). (1.12)

Изображение функции с сомножителем :

 [f(t)]=. (1.13)

 Изображение произведения функций:

  [f1(t)f(t)]= (1.14)

 Зачастую изображения можно находить без сложного вычисления интеграла Лапласа, а лишь путем использования перечисленных свойств.

 Пример: а) Изображение косинусоидальной функции:

Acosω0tσ(t)=½A(eiωt  + e-iωt) ½A()=. (1.15)

 б) Изображение прямоугольного импульса:

П(t)=A[σ(t) - σ(t-θ)] (1 - e-p θ). (1.16)

 в) Изображение косинусоидальной функции с изменяющейся амплитудой:

σ(t)A(t)cosωt=½A(t)(eiωt + e-iωt)σ(t)½[A(p-iω) + A(p+iω)]. (1.17)

 Обратное преобразование Лапласа, однозначно восстанавливающее оригинал по своему изображению, определяется интегралом:

f(t)= [F(p)]= (1.18)

 Особую значимость для приложений имеет обратное преобразование дробно-рациональных функций F(p)=. Такую функцию достаточно разложить на элементарные дроби и, воспользовавшись свойством линейности ограничиться преобразованием дробей

F(p)=  (t≥0). (1.19)

Приступая к изучению этого раздела, студент должен уделить особое внимание закону электродинамики — закону Ампера. Знать и уметь применять закон Био—Савара—Лапласа для расчета магнитной индукции или напряженности магнитного поля прямолинейного и кругового токов, а также закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для расчета магнитного поля тороида и длинного соленоида. При изучении вопроса, связанного с действием магнитного поля на движущиеся заряды, нужно уметь применять силу Лоренца для определения направления движения заряженных частиц в магнитном поле
Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях